полнотекстовый ресурс

Перепишем уравнения прямой в виде x = t - \ - \ yy = t - [ - \ t z = — Подставляяэти выражения для x, у n z ъ уравнение плоскости, найдем t = \ t откуда х = 2,і/ = 2, г = — 1.Координаты симметричной точки найдутся из формул л: = (ズ 別 + ズ#)/2, у == (Ум + Ы / 2 , г = (2л! + гЛг)/2, т. 2 = (1+д: 八 )/2,2 = ( \ + y NV2} 一 1 = (1 + гд г)/2 ,322. Дана прямая (х 一 1)/2 = "/3 = ( г + 1 ) /( — 1 ) и вне ее точка( 1 ; 1 ; 1 ) . Найти точку N 、симметричную точке М относительноданной прямой.Д Уравнение плоскости, проецирующей точку М на данную прямую, имеетвидЛ (л:— 1)+ ß (у—1)+С (z — 1 )= 0 .Координаты нормального вектора {А\ В\ С) плоскости, перпендикулярной прямой,заменим координатами направляющего вектора {2; 3; 一 1} данной прямой; тогдаполучим2 (х 一 1) + 3 (і/ 一 1) 一 (г 一 1)=0, или 2x-\-3y 一 г —4 = 0.Найдем проекцию точки М на прямую, для чего совместно решим систему уравнений2jc+3 卜 г - 4 = 0, (лг-1)/2 = у/3 = ( г + 1 ) / ( - 1).Параметрические уравнения данной прямой имеют вид д: = 2/ + 1, y = 3 t,z == — t 1 . Подставляя х у у м z ъ уравнение плоскости, найдем t =1/14. ОтсюдаТогда координаты симметричной точки можно найти, используя формулы длякоордингт середины отрезка, т.е. 8/7 = (1+ ズ")/2 , 3 /l4 = ( l + ^ д г )/2 ,— 15/14 == U +2W )/2, откуда лгдг=9/7, ^ = — 4/7, 2д г = — 22/7. Итак, N (9/7; — 4/7;-2 2 /7 ). ▲323. Через прямую (jc + 1)/2 = {у — 1)/(— 1 ) = ( г 一 2)/3 провестиплоскость, параллельную прямой х/(— 1 ) = (" + 2j/2 = ( г — 3 )/(— 3).Д Запишем уравнения первой из заданных прямых с помощью уравненийдвух плоскостей, проецирующих ее соответственно на плоскости хОу и yOz:(х-\- \)/2 = (у 一 1)/(— 1 ) ,или х-\-2у — 1 = 0 ;(у_ 1)/( 一 1 ) = (г— 2)/3, или Зу-{-г 一 5 = 0.Уравнение пучка плоскостей, проходящих через эту прямую, имеет видх-\-2 у — 1 + 入 (З у + г — 5) = 0 , или л: + (2 + 3 人 ) у + 入 г —(1+5 入 )=0.Используя условие параллельности прямой и плоскости, определим X так,чтобы соответствующая плоскость пучка была параллельна второй из заданныхпрямых. Имеем — 1•1 + 2 (2 + Зл)_ 3 入 = 0 , или 3 入 + 3 = 0, откуда Х = — 1.Такимобразом, искомая плоскость определяется уравнением х 一 у —г+4 = 0. ▲324. Найти уравнения проекции прямой (л:— 1)./1 = ( у + 1 ) / 2 = г/3на плоскость x -\-y -\-2 z— 5 = 0.Л Запишем уравнения заданной прямой в виде уравнений двух плоскостей,проецирующих ее соответственно на плоскости хОу и хОг:(х— 1)/1= (у -\-1)/2, или 2х— у — 3 = 0;(х—1)1=г/3, или 3jc— г — 3 = 0.Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую, запишетсяв виде2х— у — 3 十 — z— 3) = 0, или (2 + 3>.) х — у — Кг— 3 (1 + > •)= ()•61