полнотекстовый ресурс

1049. Исследовать на экстремум функцию у = ху 1 — х2.Д Функция определена при — 1く ズく 1 . Найдем производную: уг == ( 1— 2х2) / У 1— х2у ゲ = 0 при 1— 2л:2 = 0; отсюда хг = — \ / У 2, х2 = \ / Ѵ 2(стационарные точки); уг = оо при х = ± 1, т. е. на границах области определенияфункции.Найдем вторую производную: у" = х (2х2— 3)/(1— х2) 3^2. Вычислим значениявторой производной в стационарных точках. При х = \ / У 2 имеемУ " (1 / Ѵ ^ ) = -ѵ —ト (1—3)~ < о;Ÿ 2(1 — 1/2) 3/2следовательно, согласно правилу 2 заключаем, что в точке х = \ /У 2 функцияимеет максимум (/max = (l /У~ 2)У~ 1/2 = 1 /2 . При х = — 1/ド 2 получимУ " ( - 1 / ^ 2 ) = 一 ~ 广 1—3 ) > 0,Ÿ 2(1 — 1/2) 3/2т. е. в точке х = — \ ! Y 2 функция имеет минимум ут \п = — 1/2.В критических точках х = ± 1 экстремума нет, так как по определению точкамиэкстремума могут быть лишь внутренние точки области определения функции.▲1050. Исследовать на экстремум ф ункцию у = ( х — I)4.Д Найдем производную: уг = 4 (х— I)3; (х— 1)3 = 0; х = 1— стационарнаяточка. Вторая производная у” = 1 2 — I )2 при х = 1 равна нулю. Третья производнаяу ,п = 2 4 (х—1)при х = 1 также обращается в нуль. Четвертая производнаяг/ІѴ = 24 > 0. Следовательно, согласно правилу 3 заключаем, что в точкех = 1 функция имеет минимум ут \п = 0. ▲1051. И с с л е д о в а т ь н а э к с т р е м у м ф у н к ц и ю у = 1 — ( х — 2 ) 4/54Д Находим yf = 一 (x_ 2 ) —1/5 = 一 产 5 , ^ . Производная не обращаетсяу Г х — 2в нѵль ни при каких значениях д: и не существует лишь при х = 2 (критическаяточка).Так как при достаточно малом /г > 0 выполняются неравенства у, (2— Һ) > 0и у, (2+ /г) < 0, то согласно правилу 1 заключаем, что при х = 2 функция имеетмаксимум Ута\ = 1 - ▲1 0 5 2 . И с с л е д о в а т ь н а э к с т р е м у м ф у н к ц и ю у = ( х — 2 ) 2/3 ( 2 ズ+ 1).Д Находим у '= - ^ • 一 -; 一 . Критические точки х = 1 (производная равна0 у x — 2нулю) и :: = 2 (производная не существует). При достаточно малом h > 0 выполняютсянеравенства ゲ (1 一 h) > 0,у , (1 十 A) < 0, ; yf (2 — h) < 0, y r (2 + Л ) > 0.Следовательно, в точке x = 1 функция имеет максимум r/max = 3, а в точкех = 2— минимум ут \п = 0. ▲1 0 5 3 . Н а й т и н а и б о л ь ш е е и н а и м е н ь ш е е з н а ч е н и я ф у н к ц и и / ( л : ) == З л : — x 3 н а о т р е з к е [ — 2 , 3 ] .Д Находим производную: / ' ( ズ)= 3 — Зх2\ 3— Зхл = 0, т. e. х = ± 1— стационарныеточки. Определяем значения функции в этих точках: / (1 )= 2 , / ( 一 1)= —2.Вычисляем значения данной функции на границах промежутка: / (—2) = 2,f (3 ) = — 18. Из полученных четырех значений выбираем наибольшее и наименьшее.Итак, наибольшее значение функции на данном отрезке равно 2, а наименьшееравно— 18. ▲176