полнотекстовый ресурс

Эта формула позволяет после (п — 1)-кратного применения свести данныйdtинтеграл I п к табличному интегралу ^/2 + а21408. Найти интеграл / 3dx(jc2+1)3Д Здесь п = 3. После первого примененияТг г Г dxі\ интегралу / 2 = J снова применяемлагаем п = 2):Итак,рекуррентной формулы получаем1 x ^ 2-3 — 3 1 x i 3 ,3 ~ 2 (3 — 1) ( л - 2 + 1 ) 3- 1 1 2 - 3 — 2 сト 卜 Т (ズ2 + が 十 Т ゾ2.рекуррентную форшглу (здесь по-j 1 x - 2*2—3 j/2==272—1)* (^ + І)2- 1 十 2.2 —2 2 2 ズ2+1 1 2Һ:x . 1 p dx x i 1 + ,ハ— 2(x2+ l ) (■ 1 2 万 J \ x2+ ѵ2 丄 \ 1 =2(л:2+9 〜2 丄 1П)~Һ"9" аГС^ x i C.Окончательно имеемJdx x , 3 「 x , 1 arctg л:(JC2+ 1 ) 3 — 4(x2+ l) 2 1 4 L2(JC2+1) [-+ C.Г 似 X + ^ 6 r î r + 4 a r c t g x + C .(x2+ l ) 3 一 4 (ズ2+1)2 1 8(л:2+ 1 )Покажем теперь в общем виде, ка к интегрируются простейшие дроби IV типа.で 产 Г Лх + В , > 2 ノлТребуется наити j レ2 + рх + ?ў Г み’ j — ? < 0.Выделим в числителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:Г Ах + В, Г^-(2Х+ р) + (^В— ~ 厂 ノJ (л-4-/« + ?)" dX = J (x^-px + q) - き= А Г_ _ 2л ± і_ _ ах+ ( в - ^ Л Г _____^ ____2 J (x2 + px + q)n V 2 ノJ (x2 + px + q)n *Первый интеграл в правой части равенства легко находится с помощью подстановкиҳ2-\-px-\-q = t, а второй преобразуем так:ах ** dx(x2 + px + qytl 、 十 2 ノ2+ Ю _пп2Полагая теперь dx = dt и обозначая q— -г - = а 2, получаемГ cîx С dtJ { ^ - \ - p x + q)n — J ( t 2+ a 2)nТаким образом, интегрирование элементарной дробивыполнено с помощью рекуррентной формулы.1409. Найти интеграл J ■ 丄 ‘)フ 丄 丨 , ぬ .IV типа может быть221