Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑÐµÐºÑÑÐ¾Ð²ÑÐ¹ ÑÐµÑÑÑÑ

More documents

Recommendations

Info

Д Полагая tg (лг/2) = /, получим2 dtdx(а2 b2) —(a2—b2y cos x(a2+ b 2) - ( a ^ - b 2)- \ + i2dtdt(a2 + ô2) (1+ P) —(o2 —…( 卜 t2) ~ a42+b^d (at) 1 . ai \x *arctg — + C = arctg(at)2-\- b2 ab•ab , f tg2 + C.Универсальная подстановка tg(x/2) = t во многих случаях приводит к сложнымвычислениям, так как при ее применении sin х и cos х выражаются через tв виде рациональных дробей, содержащихВ некоторых частных случаях нахождение интегралов вида ^ R (sin x, cos x) dxможет быть упрощено.1 .Если R (sin x, cos х) 一 нечетная 中 ункция относительно sin дг, т. е. если尺 ( 一 sin x、cos x)= — R (sin Xy cos x),то интеграл рационализируется подстановкойcos x = t.2. Если R (sin x, cos x) — нечетная функция относительно cos xf т. е. еслиR (sin x , — cos x )= — R (sin x, cos x), то интеграл рационализируется с помощьюподстановки sin x = t.3. Если R (sin Ху cos jc) —четная функция относительно sin х и cos х у т. е.если R (— sin x, 一 cos x) = R (sin xt cos дг), то к цели приводит подстановка Xgx = t.m ТТ » Г (sin дс+ sin3 д:) dx1474. Наити интеграл \ -------cqs 2у- . — •Д Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаемcos x = t. Отсюда sin2ズ= 1 — t2,cos 2x = 2 cos2a:— 1= 2 t 2— 1, dt — — sin^dズ.Таким образом,Г (sin x + Sin3 X) dx r (2 — t2) (— dt) С (t2 — 2) dtJ cos 2jc — j 2/2—1 —J 2/2 一 1 —Следовательно,—2 丨 J 2/2—1 货 Ü 2 J : 2 J 2t2— d t \t 3 C d U V 2 ) _ t 3 —1| , ハ= 了 - 巧 J \ Т Ѵ Т Г і\ +Csin дг-1-s in 3 x) dx 1 ^ ,^ = т с05д:- ^ 7 1 1пŸ 2 cos x — 1 + C.Ÿ 2 cos x -\-1Отметим, что в рассматриваемом случае интеграл всегда может быть записанв виде [ R* (sin2 Ху cos x) sin x dx. ▲1 /I-7C U « С(cos3 Д:-|-С085д:) dx1475. Наити интеграл \ - 一一 —9 -,~ т-г- •r J Sin2 A:+S in4 XА Здесь подынтегральная функция является нечетной относительно косинуса.Поэтому применяем подстановку sin x = t\ тогда cos2 x — 1 一 sin2 1 一 t2tcos x dx = dt. Следовательно,Г (cos3 x + cos5 x) dx _ Г cos2 ズ(1+ cos2 x) cos xdxf (1— t2) (2 — t2) dtJ S ill2 A:+ S in 4 ズ _ J + 一 j •235
(1-/2) (2-/2) 2Так как- /Ч /2(1 Г + /2) 1tyОкончательно полѵчаемf(l 一 /2)(2— /2) 沿 , 2 . . .,^3 ~ ^ ( 1 + 7 ^ ~ ~ = 卜了一 6a「ûtg^ + C.Отметим, что в рассматриваемом случае интеграл всегда Может быть записанв виде J R* (sin x, cos2 x) cos x dx. ▲1476. Найти интеграл j sin, х + 2 sinf cos х ^ х •Д Подынтегральная функция четна относительно синуса и косинуса. Пола-, tg x t 1гаем, tg x = t; тогда sm jc— — . ハ v — 一У l+ tg 2A: У 1 -j-/2 / Y l+tg2; A:= arctg t\ d x ~ ■-2 . ОтсюдаV i + /2* ’ i + Pdtdx V 1+ ^sin2Jk:+ 2sin x cos x — cos2 x — 1 t2 , 2tДалее, имееми, следовательно,Г dt Ç d ( t + \ ) 1 ,J " + 2 ト 1 — J 斜 " 2 — ( W 一1+
Page 1 and 2:
Н Е Д А Н К О А Г . П О
Page 3 and 4:
Б Б К 22.11Д 17У Д Қ 516+517
Page 5 and 6:
Глава VII. Дифференц
Page 7 and 8:
ГЛАВА IАНАЛИТИЧЕСК
Page 9 and 10:
1 1 .Показать, что тр
Page 11 and 12:
А —Используя форму
Page 13 and 14:
4 1 .Составить уравн
Page 15 and 16:
+ a2 sin2 t, т.е. х2-\-у2 = а2
Page 17 and 18:
3. Уравнение прямой
Page 19 and 20:
Уравнение прямой, и
Page 21 and 22:
Остается определит
Page 23 and 24:
Уравнение одной из
Page 25 and 26:
103. Составить уравн
Page 27 and 28:
{- J , 0、2 , , , 5 ү 121(ズー
Page 29 and 30:
Здесь а— большая, b
Page 31 and 32:
Таким образом, усло
Page 33 and 34:
171. Составить уравн
Page 35 and 36:
Другой способ реше
Page 37 and 38:
а 89士ズ2— 去ゲーぶ +
Page 39 and 40:
Приравнивая нулю к
Page 41 and 42:
При этой форме запи
Page 43 and 44:
в обоих случаях (см.
Page 45 and 46:
ГЛАВА MЭЛЕМЕНТЫ ВЕК
Page 47 and 48:
Направление вектор
Page 49 and 50:
■ Искомый единичны
Page 51 and 52:
256. Найти скалярное
Page 53 and 54:
271. Найти скалярное
Page 55 and 56:
4) Угол ф между плос
Page 57 and 58:
Значение X определя
Page 59 and 60:
2. П рям ая.1 )Прямая
Page 61 and 62:
318. Из начала коорди
Page 63 and 64:
Используя условие
Page 65 and 66:
Следовательно, цен
Page 67 and 68:
Д Исключив из систе
Page 69 and 70:
364. Найти уравнение
Page 71 and 72:
Г Л А В А IVО П Р Е Д Е
Page 73 and 74:
Вычтем из элементо
Page 75 and 76:
х-\- 2 у = ЪЗу-\- 4г = 1 85z
Page 77 and 78:
Матрица В называет
Page 79 and 80:
402. Н а й т и Л 3,е сл и
Page 81 and 82:
Подставив значение
Page 83 and 84:
Квадратичные формы
Page 85 and 86:
421. Привести к канон
Page 87 and 88:
癱 Формулы преобраз
Page 89 and 90:
43 4. О п р е д е л и т ь
Page 91 and 92:
5-ю строки:Найдем оп
Page 93 and 94:
II шаг: поступаем с у
Page 95 and 96:
Она имеет единстве
Page 97 and 98:
ズ1 ズ2 ズ3 ズ4 bVI I I 1 — 3
Page 99 and 100:
Разделим элементы 4
Page 101 and 102:
4-й элемент 2-й строк
Page 103 and 104:
Д Составим таблицу7
Page 105 and 106:
3°. Нуль-элементом я
Page 107 and 108:
Д Рассмотрим равен
Page 109 and 110:
488. Из каких элемент
Page 111 and 112:
Матрицуf Û11 a12\ ° 21 a22
Page 113 and 114:
называется множест
Page 115 and 116:
Возьмемтпервое ура
Page 117 and 118:
Д Пусть SL = X i \ + Y 1] - {
Page 119 and 120:
числа. Доказать, чт
Page 121 and 122:
Д Согласно условию,
Page 123 and 124:
Д Матрица преобраз
Page 125 and 126:
Показать, что матри
Page 127 and 128:
сделать это простр
Page 129 and 130:
§ 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЙ Б
Page 131 and 132:
Находим длины вект
Page 133 and 134:
Пустьe; — b i^ti + b2i ^2 +
Page 135 and 136:
(3 — 入 ) (2 — X )( l — 入
Page 137 and 138:
Г Л А В АVIВВЕДЕНИЕ В
Page 139 and 140:
жество Y ’ состояще
Page 141 and 142:
6 .* Найти области оп
Page 143 and 144:
§ 4. П Р Е Д Е Л ЫЧисл
Page 145 and 146:
Числитель дроби ст
Page 147 and 148:
△ Если x ■то І ^ х —
Page 149 and 150:
7 0 4 . П у с т ь t — б е
Page 151 and 152:
725. Показать, что пр
Page 153 and 154:
7) если y = f ( n ) , и = и (
Page 155 and 156:
752. y = tg6x.A ゲ = б tg ) ぶ.
Page 157 and 158:
767. г/ = 5 з һ ^ + 3зһ5^ .Д
Page 159 and 160:
8 2 4 . у = l n s in V~x t g V x
Page 161 and 162:
9 0 5 . У 号 = 0 . 9 0 6 . ^ 2+
Page 163 and 164:
s— в метрах). Опреде
Page 165 and 166:
945. у = х5+ 2хі — Зл-3—
Page 167 and 168:
Если приращение Дл:
Page 169 and 170:
хп + ^«1Приведем раз
Page 171 and 172:
П о формуле М аклор
Page 173 and 174:
Найти следующие пр
Page 175 and 176:
1 0 3 3 . l i m l g! nx/2) • 1 0
Page 177 and 178:
1049. Исследовать на
Page 179 and 180:
1 0 7 5 . Н а й т и н а и
Page 181 and 182:
Определим, существ
Page 183 and 184:
jö, 2[ и ]2, +oo[, причем
Page 185 and 186: 1 1 1 1 . Н а й т и к р и
Page 187 and 188: Производной вектор
Page 189 and 190: z = 3 . Следовательно,
Page 191 and 192: d r■У ~ a 2 s in 2 t - \ - a 2 c
Page 193 and 194: ГЛАВА V I IIДИФФЕРЕНЦ
Page 195 and 196: 1194. p = a4 cos2 ф. Найти
Page 197 and 198: 1211. и = лッ2へ Найти du.
Page 199 and 200: 1230. г = sin jc sin у. Найт
Page 201 and 202: 5. Производная в дан
Page 203 and 204: Производные высших
Page 205 and 206: Д Найдем частные пр
Page 207 and 208: Найти экстремумы ф
Page 209 and 210: Г Л А В А I XНЕОПРЕДЕ
Page 211 and 212: 1334. Найти интеграл ^
Page 213 and 214: 1354. Найти интеграл ^
Page 215 and 216: Л Произведем подст
Page 217 and 218: где и = ф (л:), с;= -ф(д:)
Page 219 and 220: Положим и = х. dv =» то
Page 221 and 222: Итак,Â X+B dX = 4 ln Cc2 + f +
Page 223 and 224: Д Имеем3ズ+ 2 , [- 2 (2 ^ +
Page 225 and 226: Случай 2. Знаменате
Page 227 and 228: 1423. Найтн мнтеғрал j
Page 229 and 230: Произведем замену
Page 231 and 232: 3. Интегралы вида I ,
Page 233 and 234: где Q«_ î (x) — многоч
Page 235: Следовательно,V \ + ^
Page 239 and 240: + 4 - ぐ(1— sin22jf) cos 2 x d x
Page 241 and 242: 1487. Найти интеграл ]
Page 243 and 244: Найти интегралы:1509.
Page 245 and 246: 6°. Оценка определе
Page 247 and 248: Д Положим д: = г sin t\
Page 249 and 250: Если функция f (х) им
Page 251 and 252: Допустим, что р > 1 ;
Page 253 and 254: Площадь фигуры, огр
Page 255 and 256: § 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН
Page 257 and 258: 1626. Найти объем тел
Page 259 and 260: 1638. x2/a2+ t f / b 2= \ .1639. x
Page 261 and 262: Рис. 47 Рис. 481643. Найт
Page 263 and 264: теореме Гульдена, р
Page 265 and 266: 1664. Найти работу, со
Page 267 and 268: поверхности воды. Р
Page 269 and 270: 1682. Доказать справе
Page 271 and 272: 1692. В какой точке це
Page 273 and 274: Д Заменяя знак нера
Page 275 and 276: Областью решений н
Page 277 and 278: весь набор {^ і, х 2, .
Page 279 and 280: реписать так::2 — 2ズ
Page 281 and 282: В виде таблицы эти
Page 283 and 284: Таблица 3Свободные
Page 285 and 286: вещества 5, а в кажд
Page 287 and 288:
IV итерацияズ4/ 7/2 7/12 1
Page 289 and 290:
плана перевозок, пр
Page 291 and 292:
Остатки по строке и
Page 293 and 294:
1763. На двух складах
Page 295 and 296:
yr = у - { - 1 .1 9 2 . Г ипе
Page 297 and 298:
всех многочленов н
Page 299 and 300:
f W при f(x ) > 0, , _ / 3 пр
Page 301 and 302:
1152. t = —(1/3) j + ( 2 / * 2/3)
Page 303 and 304:
—(l/2” n ( 科 je + l)+ 3 ln I
show all

Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑÐµÐºÑÑÐ¾Ð²ÑÐ¹ ÑÐµÑÑÑÑ

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑÐµÐºÑÑÐ¾Ð²ÑÐ¹ ÑÐµÑÑÑÑ