полнотекстовый ресурс

§ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙЕсли кривая у = f (х) на отрезке [at b] — гладкая (т.е. производная y r = f r (х)непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формулеdx.При параметрическом задании кривой x = x ( t ) y t j ~ y (t) [x (/) и y ( i) — непрерывнодифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонномуизменению параметра t от і і до ら,вычисляется по формуле* 2Ç Ѵ~хг -\-у%dt.Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением р = р (Ѳ),а ^ Ѳ^ ß, то длина дуги равна2+ р'2 肌1610. Найти длину дуги кривой у2 = от х — 0 до 1 {у ^ О ).Д Дифференцируя уравнение кривой, найдем уг = (3/2) лЛ/2. Таким образом,1 一 _1 1 \ ^ 8— 3,,9 , 4 2 / . 9 \3/2. 1о 27 ノі2l + T x d x = ' 9"* 9 "зj { l + T x )78 ( 13'27 ( 8"/"Tä—i ) . ▲1611. Найти длину дуги кривой x ^ c o s '31, г/ — sin5/ от ~ = 0 до12 зх/2 •Д Найдем производные по параметру t: х — —5 cos4 t sin t, г/= 5 sin4 / cos t.Следовательно,254я/2 я/2J У (—5 cos4 t sin t)2 + (5 sin4 i cos t)%d/ = 5 j sin t cos t У sin6 /+ co s6 1 dt =о 0я/2 ____ я/2=тI/-134------、sin 2t / i + l cos2 2t dt = — 音 j V 1 + 3 cos2 2t d (cos 2t) =Іл/2J— ^ cos 2t Y 1+3 cos2 2 t ^___ - \ ln j —{1 (]A/ 3.COS Q__ Ci* 2t I 1/ 11+3 i cos2 2 Oj\ /) ]І п Ю )厂 31612. Найти длину дуги кривой p = sin3(Ѳ/3) от Ѳг = 0 до Ѳ2= л/2.