полнотекстовый ресурс

где и = ф (л:), с;= -ф(д:) — непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощьюэтой формулы нахождение интеграла ^ и dv сводится к отысканию другого интеграла^ v du\ ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграллибо проще исходного, либо ему подобен.При этом за и берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается,а за dv— та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известенили может быть найден.Т ак, например, для интегралов вида ^ Р (д:) еах dx, ^ Р (д:) sin ах dxt^ Р (х) cos ах dx, где Р (х) 一 многочлен, за и следует принять Р (х),а за du 一соответственно выражения еах dx, sin ах dx, cos ах dx; для интегралов вида^ P (x) ln x dx, ( P (jc) arcsin x dx, ^ P (x) arccos x dx за и принимаются соответственнофункции ln x, arcsin x, arccos x, a за dv 一 выражение P (д:) dx.1385. Найти интеграл \ \nxdx.ИでД Положим и = \п х , dv = dx; тогда и==х, du = — . Используя формулу интегрированияпо частям, получаемJ ln x dx = x \п x — Г х ~ = х ln x — ^ dx == х ln x — х-\-С = х ^ п х — 1) + С. ▲1386. Найти интеграл \ arctg xdx.d уЛ Пусть u = arctg x, dv = dx, тогда du = -■2- , ѵ = х . По формуле интегрированияпо частям находимp p x dx 1j arctg = xarctg j ^ ^ 2 •= xarctgx— T ln ( i+ x 2 ) + C. 41387. Найти интеграл [ x sin xdx.Д Положим u = x f dv = sin x dx; тогда d u = d x , x = 一 cos x. Отсюдаf xsin xd x= ^ 一 x cos x-\- ^ cos xd x = 一 x cos A:+ sin x-\-C.Если бы выражения и и dv мы выбрали иначе, например rz = sin x, dv = x dxfто получили бы du == cos x dx, г = (1/2) x2t откудаГ 1 Г 1 1 1 Г\ x sin xdx = y x2s in x ~ ' ү x2 cos xdx = ү -^2 sin x — j x2 cos xи пришли бы к интегралу более сложному, чем исходный,множителя при тригонометрической функции повысилась на1388. Найти интеграл [ х^ех dx.так ка к степень соединицу.▲Д Положим и ~ х 2, dv = ex dx; тогда du = 2х dx, v = e x.интегрирования по частям:Применяем формулу▽ х-ех dx = х2ех — 2 [ хех dx.21G