полнотекстовый ресурс

ГЛАВА V I IIДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦ ИЙНЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ§ 1 . ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Ф У Н К Ц И И .Л И Н И И И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯПусть даны два непустых множества D и U. Если каждой паре действительныхчисел (ズ;у), принадлежащей множеству D , по определенному правилу ставитсяв соответствие один и только один элемент и из ひ, то говорят, что намножестве D задана функция f (или отображение) со множеством значений U . Приэтом пишут D ~ > U ,или /: D ~ > Ü , или u = f(x , у). Множество D называетсяобластью определения функции, а множество U t состоящее из всех чисел видаf (x,у) , где (x; у) Ç D ,— множеством значений функции. Значение функцииti = f (X,у) в точке М (х0; у0) называется частным значением функции и обозначается/ (х0, у0) или / (М).Область определения функции u = f(x , у) в простейших случаях представляетсооои либо часть плоскости, ограниченную замкнутой кривой, причем точки этойкривой (границы области) могут принадлежать или не принадлежать областиопределения, либо всю плоскость, либо, наконец, совокупность нескольких частейплоскости хОу. Геометрическим изображением функции u = f(x , у) в прямоугольнойсистеме координат Охуи (графиком функции) является некоторая поверхность.Аналогично определяется функция любого конечного числа независимыхпеременных u = f( x ’ у, 2 , . . . ,Линией уровня функции и = f (х,у) называется линия f (х, у) = С на плоскостихОу,в точках которой функция сохраняет постоянное значение и = С.Поверхностью уровня функции u = f (x, у,z) называется поверхностьf (X,у ,г) = Су в точках которой функция сохраняет постоянное значение а = С.1169. Найти область определения функции и = Ѵ а1 х2— у 2.Д Ф ункция и принимает действительные значения при условии а2—От. е. ^ 2 + і/2^ а2. Областью определения данной функции является круг радиуса ас центром в начале координат, включая граничную окружность. ▲1170. Найти область определения функции w = arcsin (х/у2).Д Эта функция определена, если у 0 и — 1 く x jy 2 く 1,т. e . —у2 く х く у2•Областью определения функции является часть плоскости, заключенная междудвумя параболами у2 = х и у2 = 一 х, за исключением точки 0(0 ; 0). ▲1171. Найти область определения функции и = \п (2г2— 6л:2——зゲ 一 6).Д Данная функция зависит от трех переменных и принимает действжёльныезначения при 2г2 — 6л:2 一 3ゲ 一 6 > 0, т. е. х2/\-{-у 212— z2/3 < — 1 . Областью определенияфункции является часть пространства, заключенная внутри полостейдвуполостного гиперболоида. Д1172. Найти линии уровня функции и=^х2 + у2.А Уравнение семейства линий уровня имеет вид х2-\-у 2 = С (С > 0). ПридаваяС различные действительные значения, получим концентрические окрѵж и осіііс центром в начале координат. ▲192