полнотекстовый ресурс

весь набор {^ і, х 2, . . . ,л:г} — базисом, остальные переменные называются свободны.пи^система ограничений (2) называется системой, приведенной к единичному базису.Подставляя в линейную форму L вместо базисных переменных их выражениячерез свободные из системы (2),получим厶 =70 + 7 尸 + 1ズ/* + 1 + . . . + 7 / 2 ズ《.Теперь, полагая все свободные переменные равными нулю, найдем значениябазисных переменных: хг = b[, х2 = Ь2, . • -, xr = bfr. Таким образом, решение (Ь\,Ьо, . . . , Ьп 0,.. • ,0) системы является допустимым — оно называется базисным.Для полученного базисного решения значение линейной формы L B = ү 0. Решениезадачи с помощью симплекс-метода распадается на ряд шагов, заключающихсяв том, что от данного базиса Б мы переходим к другому базису Б ' с такимрасчетом, чтобы значение 乙 б уменьшалось или, по крайней мере, не увеличивалось,т. е. Lg, ^ Lb.Идею метода проследим на конкретных примерах.1740. Максимизировать линейную форму L = —ズ4+ ズ5 при ограничениях:хг + х4— 2ズ5 = 1,х2— 2л:4+ х 5= 2, x3rj-3x4+ x5= 3.Д Данная система уравнений-ограничений совместна, так как ранги матрицысистемы/1 0 0(о 1 0\0 0 1и расширенной матрицы/ 1 0 0 10 1 0 —2ч0 0 1 3совпадают и равны 3. Следовательно, система уравнений совместна и три переменные(базисные) можно линейно выразить через две свободные переменные.Выразим, например Хі, х2 и х3 через х4 и х ь, т. приведем систему к единичномубазису:Линейнѵю форму L = — ズ4 + ズ5 выразим через свободные переменные х4 и х5(в данном примере L уже выражена через х4 и хъ). Теперь при х4 = 0 , ズ5 = 0найдем значения базисных переменных: = 1 , х2 = 2, дг3 = 3. Таким образом,первое допустимое решеі ение системы уравнений есть хг = \ , х2 = 2, л*3 = 3, д:4 = 0,ズ5 = 0,или (1,2 ,3, ,0, 0) При найденном допустимом решении линейная форма Lимеет значение 0,т. е. L i = 0.Теперь попытаемся увеличить значение Ь г \ увеличение х 4 уменьшит L i, таккак перед х4 стоит отрицательный коэффициент, а увеличение х5 дает увеличениеи Ьг. Увеличим поэтому х5 так, чтобы x if х2, х3 не стали отрицательными, оставивд:4=:0. Из второго уравнения системы (*) следует, что хъ можно увеличить до 2.Таким образом, получаем следующие значения переменных: хх = 5, х2 = 0, д:3= 1,ズ4 = 0,х 5 = 2 или (5,0, 1,0,2).Значение линейной формы L при этом допустимом решении равно L 2 = 2, т. е.при втором шаге оно увеличилось.Далее, примем за свободные переменные х2 и ズ4,т. е. именно те переменные,которые в новом решении имеют нулевые значения. С этой целью из второгоуравнения системы (❖) выразим хъ через х2 и и получим х5 = 2 一 x2~j-2x4.2 77