полнотекстовый ресурс

3-ю и 4-ю строки можно вычеркнуть:门 \Ч1 —1 1 一 1ノ .Таким образом, ранг матрицы А равен 2 и k — п — г = 4 — 2 — 2 .Итак, размерность подпространства решений равна 2. Так как г ~ 2 , то изчетырех уравнений возьмем два:( ズ1 + ズ2 — ズ3 + ズ4 = 0 , u m ( X i + X2 ~ ズз — XI ズ1— ズ2 + ズ3 — ズ4 = 0, \ ぶ1 一 X -2~ — ズ3 + ズ•!.( I д.— ]Полагая ズ3= 1,д:4 = 0,получим систему | "^1 1 2____ 厂 Следовательно,々 = О,х2= \ и fx = (0; 1; 1; 0). 丄 ^Полагая теперь д:3 = 0, х 4 = 1 , имеем j 1 ! ,Таким образом, ^ і = 0,х2 = —\ и f.2 = (0; —1; 0; 1) . За базисные векторы подпространства могут бытьприняты векторы f i= (0; 1; 1; 0) ,f2 = (0; —1; 0; 1) . Общее решение системы уравненийопределяется вектором f = c1f1-j-^2^> т. e. f — (0; ci 一 с2; f i ;с2). А522. Определить размерность подпространства решений, базиси общее решение системы уравнений/•^1 ~Г" ^Х2 + ズ3-;~Хі 丁 ズ5 = 0,i ^1 一 -'г хЗ~Тхі 一 ズ5 = 0.§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ1 . Основные понятия. Будем говорить, что в линейном пространстғе R заданопреобразование А, если каждому вектору xÇ^R по некоторому правилу поставленв соответствие вектор AxÇ/?. Преобразование А называется линейным, еслидля любых векторов х и у и для любого действительного числа Я выполняютсяравенстваА (х + у) = Ах + Ау, А (Я х) = Я Ах.Линейное преобразование называется т о ж д е с т в е н н ы м , если оно преобразуетлюбой вектор x в самого себя. Тождественное линейіюе преобразование обозначаетсячерез Е. Таким образом, Ех = х.523. Показать, что преобразование Ах = ах, где а 一 действительноечисло, является линейным.Д Имеем А (х + у) = а (х-}-у) = ах + ау = Ах + Ау, А (Хх) = а (Ях) = А, (а х )== Я Ах. Итак, оба условия, определяющие линейное преобразование, выполнены.Рассмотренное преобразование А называется п ре образован ием подобия. А524. Преобразование А в линейном пространстве R определеноравенством Ах = х + х0, где x 0 Ç:R — фиксированный ненулевой вектор.Является ли преобразование А линейным?А Из равенств Ах = х + х0, Ау = у + х。,А (х+у) = x -f у + х0, А (х + у ) == Ах + Ау заключаем, что х + у + х0 = (х + х0) + (у + д:й). Отсюда следует, чтоа., = 0, но это противоречит условию. Следовательно, преобразование А не являетсялинейным. ^525. Дано линеиное пространство геометрических векторов. ПреобразованиеА состоит в замене каждого вектора его составляющейпо осн Ох. Является ли это преобразование линейным?115