полнотекстовый ресурс

Таким образом, гипотенуза имеет наименьшее значение, если катеты треугольникаравны между собой. ▲1314. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z == X2 + У2 в круге (х —К 2 ) 2 + {у — Ѵ ^ ) 2< 9. _Д Здесь рассматривается область D , ограниченная окружностью (х — У 2)2+十 ^ /— У 2)2 = 9, включая и точки окружности.Найдем стационарные точки данной функции; имеем ^ = 2^, — = 2 г/; в силунеобходимых условий экстремума находим ズ= 0 ,у = 0 .Нетрудно видеть, что в точке (0; 0) функция z = x 2-\-y2 имеет наименьшеезначение гнаим = 0,причем указанная точка является внутренней точкой области D.Исследуем на условный экстремум функцию z = x 2-\-y2, если х и у связанысоотношением (л:— У~2)2 + (у— Y 2)2 = 9. Рассмотрим функцию и = х 2-\-у2 ++ 入 [(jc 一 У^~2)2-\-{у — V 2)2 — 9 ]. Находим частные производные 2ズ++2Х (х— У~2) , = {ÿ— Y 2). Для определения x, у п к получаем системууравненийГ а: ( л: — 2) = 0,I У+ 人 0/— V 2 ) = 0 ,{ ( Х- у - 2 У + ( у - Г - 2 У = 9.Эта система имеет два решения: х = у = ЪУ 2 / 2 , 入 = — 5/3 и 2 = 25; х = у == 一 У 2 / 2 , 入 = — 1/3 и 2 = 1 . Значит, наибольшее значение функция принимаетв точке (5 V 2/2; 5 У 2/2). И так, г паим = 0, zHaH6 = 25. ▲1315. Найти экстремум функции z = x2-{-y2, если х и у связаныуравнением х/4 + у/3 = 1.Найти наименьшее и наибольшее значения функций:1316. z = x2— ху-\-у2— 4х в замкнутой области, ограниченнойпрямыми х = 0, у = 0 ,2х-\-Зу— 12 = 0.1317. z = х у -\-х -\-у в квадрате, ограниченном прямыми х = І уx = 2у у = 2,у = 3.1318. z = xy в круге х1+ у21319. г = х2+ Зу2 + x — у в треугольнике, ограниченном прямымиX = I у у = 1 у х -\- у = 1.1320. z = 1 — x2— у2 в круге (х 一 1)2+ (у— 1)2^ 1.1321.г = sin ズ + sin y sin(;c + ÿ) в области 0 く ズく я/2,О ^ .у ^ .п /2 .1322. г = sinA;+ sin y + cos(A:+ y) в области 0 く л: く Зя/2,О ^ .у ^ З л /2 .1323. z = cos x cos у cos {x-\-ÿ) в области 0 く л: く л, 0 く у く я.1324. Из всех треугольников, вписанных в круг, найти тот,площадь которого наибольшая.1325. Из всех треугольников, имеющих данный периметр, найтинаибольший по площади.1326. Из всех прямоугольников с заданной площадью S найтитакой, периметр которого имеет наименьшее значение.1327. Найти размеры прямоугольного параллелепипеда, имеющегопри данной полной поверхности S максимальный объем.