полнотекстовый ресурс

§ 4. П Р Е Д Е Л ЫЧисло а называется пределом последовательности х і, х2,, еслидля всякого сколь угодно малого положительного числа е найдется такое положительноечисло N t что I хп— а | < е при п > N. В этом случае пишут lim хп = а.Число А называется пределом функции f (х) при x ~ ѵ а, если для любогосколь угодно малого 8 > 0 найдется такое б > 0, что | / (а:)— А | < е при 0 < | д:—一 а I < ô. Это записывают так: lim f (х) = А.х -^-аАналогично lim f (х) = А, если け (л:) — Л | く е при | л: | > N.Л:->СО *Условно записывают lim f (x) = œt если \ f ( x ) \ > M при 0 < | х — а | < ô, гдех -^ аМ 一 произвольное положительное число.В этом случае функция f (х) н а з ы ^ т с я бесконечно большой при х ~ トа.Если lim а (д;) = 0, то 中 ункция а (д:) называется бесконечно малой при ズ~ ѵ а.х->аЕсли x < а и x ~ ^ а, то употребляют запись х ~ > а — 0; если х > а и х ~ トа— запись x ~>*а + 0. Числа / (а— 0) = lim f (х) и /(а + 0 )= lim / (х) называютсях — а 一 0 х -^ а + 0соответственно левым и правым пределом функции f (л:) в точке а.Для существования предела функции / (х) при х ~ ^ а необходимо и достаточно,чтобы f (а— 0) = / ( а + 0).Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.Если существуют lim / (х) и lim g (д:), тох-*-а х~>а1) lim [/ W + g (x)] = lim f (x) + Ііш g (x);x-^a x-*~a x-^a2) lim [/ W ] = lim / (x) -lim g (x);x->a 1. 「 a x-*-a/г->-оо3 ) Ш ( п р и i s w 古 0 ) -Используются также следующие пределы:lim sin x- = :1 (первый замечательный предел);ズ 一 >о л:lim (1- | - I = lim (1- f a )I//a = e = 2,71828... (второй замечательный предел)..v^-oo \ x ノ а — оЛогарифм числа х по основанию е называется натуральным логарифлюм иобозначается ln х.При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:lim -ln (1 + XU638. П оказать, чтоi1. о,х — 1 л ѵ ( 1 х ) т — 1lim --------- = 1п a, lim ------- ---------= т .х-*о x х-*0 хпри п ~ о о последовательность 3, 2 — , 2 -имеет пределом число 2.へ Здесь п-я член последовательности есть л:„ = 2 + 1//г. Следовательно, хп 一一 2 = \ /п . Зададим заранее положительное число е. Выберем п настолько большим,что будет выполнено неравенство \/п < е. Для этого достаточно принятьп > 1/е. При таком выборе п получим | х п — 2 | < З начит,Ііш хп = 2. ▲639. Показать, что при п ^ оо последовательность 7 /3 ,1 0 ;5,13/7, • •. (Зп + 4 )/(2 я + 1 ) , . . . имеет пределом число 3/2.Д Здесь хп— 3/2 = (Зп + 4)/(2л + 1)— 3/2 = 5/[2 (2аі + 1 ) ].Определим, при какомзначении п выполняется неравенство 5/[2 (2 n + 1) ] く е; так как 2 (2п-\-\) >142