полнотекстовый ресурс

Кривая x -—у2 = а2 является равносторонней гиперболой, асимптотами которойслужат прямые у ~ ± х. Данная кривая является правой ветвью этой гиперболы,так как х = а ch t > 0 при любом t (рис. 57). ▲1689. Точка М лежит на правой ветви равносторонней гиперболыл* = асһ t, y = a s h t. Из точки М опущен перпендикуляр M N наось абсцисс и эта же точка соединена отрезком ОМ с началом координат.Из вершины А гиперболы восставлен перпендикуляр А К допересечения в точке К с отрезком ОМ (рис. 58). Доказать, чтоJNM I = sh /, \ON \:a = c h tt | A K |:a = th t.Д I N M I :a = y :a = s h t y \ ON \:a = x :a = c h t,I Л/С|:а = | ^ М | : | 0 ^ | = (| N M \:a )!(\ O N \:a )= s h "c h 之 = th Л ▲1690. Точка M лежит на правой ветви равносторонней гиперболыx = a c h t, y = a s h t. Вычислить площадь гиперболического сектора,ограниченного ветвью гиперболы, осью абсцисс и отрезком ОМ(рис. 59).А Имеем S = S0^dx — a s h i d ty откудаxi ~ S a n m ==~ ХУ— ^ У dx. Так как a: = û ch t, y = a s h tf тоt ,S = 士 û2 sh / .ch t — a- f sh2 t dt = a2 sh t • ch t — 丨 (ch 2t — I) dt =, b o1 1 n2 a2t= ; û 2 sh 2 t - ^ - a 2 sh 2t + ^ r t = - ^ - .4 4 2 2Таким образом, t = 2S/a2. Итак, аргумент t гиперболических функций можнорассматривать как частное от деления удвоенной площади гиперболического сектораОЛМ на квадрат действительной полуоси. ▲1691. Найти производные функций:1 ) у = \ п (chx + y rc\\2x + 1 );2 ) у = 5 sh3(л:/15) + 3 sh5(х/15);3) у = 2 arctg (th (х/2)); 4) y = ih x — 吾 th5jc + + t h 5x;5) y = arcctg (1/sh x)\ 6) ÿ = ln th (л:2/4).at2G9