полнотекстовый ресурс

Совокупность f i лияейно независимых векторов だ-мерного линейного пространстваназывается, б а зи сом . Справедлива следующая теорема: к а ж д ы й в е к т о р л и ­н е й н о го п -м е р но г о п р о с т р а н с т в а м о ж е т б ы т ь е д и н с т в е н н ы м о б р а зо м п р е д с т а в л е нв виде линейной комбинации векторов базиса. Так, если еІ5 е2, ..., е„ 一 базис/г-мерного линейного пространства R, то л-:обои вектор может быть единственнымобразом предртавлен в видех — s lel + Ь2е2 + • • . +Таким образом, вектор х в базисе еь е2 , . . . , е„ определяется единственнымобразом е помощью чттсел" | 2, ..., Һ,п. Эти чтісла называются координатамивектора х в данном базисе.Если x = § х е х + І 2е2 + • • • + У = Л іеі + 112€2 + • • • + Л « 6«» тох + У==(?і + ,П і)еі + + 他 )е2 + . • • + (b n + îl« ) Àx = 4- ^S2e2 + •. ‘ + 入 匕 ら.Для определения размерности линейного пространства полезно использоватьследующую теорему: если любой вектор линейного пространства R может бытьпредставлен в виде линейной комбинации линейно независимых векто роз еь ег,...,е„, то d (R) = rt (а следовательно, векторы еь е2, . . . , е" образуют базис в пространствеR).486. Дано линейное пространство всевозможных пар упорядоченныхдействительных чисел х 1 = (gu ; Н21),х 2 = (|12; Н22),х3= ( 羞 13; ?23), .. •,причем сложение векторов и умножение вектора на действительноечисло определены равенствами + 土 + ?2/ + 52fe)*» 入 == ( 入 し' ; ÀH2t-). Доказать, что векторы ех = ( 1;2 ) и е2 = (3; 4) образуютбазис данного линейного пространства. Найти координаты вектораx = (7;10) в этом базисе.Д Векторы е і= (1;2) и е2 = (3; 4) линейно независимы (см. задачу 479). Рассмотримкакой-нибудь вектор у = (Лі; Лг)- Покажем, что для любых т]х и т]2 можноопределить числа 人 и так, чтобы выполнялось равенство у = 人 еі + [хе2 , илиНетрудно видеть, что существует единственная пара значений ( 入 ;fi), для которойвыполняется этѳ, равенство. Это следует из того, что система уравнений\ >»+ 3^ = т;1,' 2Х + 4|.і = г] 2является определенғгой.Итак, векторы еі и’ с2 образуют базис. Определим координаты вектора х = ( 7 ; 10)в этом базисе. Задача сводится к определению >. и [і из системы уравненийf 入 + 3ц = 7,\ 2Я + 4^=Ю.Отсюда находим 入 = 1 ,[і = 2, т. е. х = еі + 2е2. ▲487. Показать, что линейное пространство, элементами которогоявляются- векторы х = ^2; • . І п) (см. задачу 479), имеет своимбазисом совокупность векторов е!= ( 1; 0; 0; … ;0),е2 = (0; 1;0;… ;0),е3 = (0; 0 ; 1 ; . . . ; 0 ) , . . еп — (0; 0; 0; • • •,1)ニД Нетрудно видеть, чтох = і і (1;0;0; ... ;0) + 12 (0 ;1;0; ...;0 ) + ...+ |„ ( 0 ;0 ;0 ; •••;1),т. e. x = ^ е і + ^2^2 + • • • + Таким образом, любой вектор может быть представленв виде линейной комбинации векторов еі, е2, • • • ,е„. Векторы еі,е2, ..t n линейно независимы, так ка к определитель, составленный из координатэтих векторов, равен 1,т. е. отличен от нуля. Итак, эти векторы образуют базис,а пространство R является л-мерным. Д107