полнотекстовый ресурс

1 1 1 1 . Н а й т и к р и в и з н у в л ю б о й т о ч к е ц и к л о и д ы x = a ( t - ^ s \ n t ) 9~а(\ — cos /).Д х = а (і — c o s t)} л: = а sin t y y==asin t y y==a cos t %xÿ—yx = a2 (cos t 一 cos2 t — s in 2 1) = — а2 (l —cos t)y'хг j^2 = (i 一 2 cos ^+ cos2 Z+ sin2 t) = 2а2 (1—cos t)9一 а2 (1— cos 023/しo3(l 一 cos t) 2 3,2а (1—cos f 21112. Найти координаты центра кривизны линии ぶ3+ " 4 = 2в т о ч к е М ( 1 ; 1 ) .д Продифференцируем уравнение данной линии дважды:3ズ2 + 4ゲ ゾ = ()(り , 6лг+12//У2 + 4^/У = 0 ( u ) .Так как х = \, у=1, то из уравнения (*) находим уг = —3/4, а из уравнения (* *)получаем б + 2 7 /4 + 4 ^ = 0, т.е. у” = —51/16. Тогда( 1 + グ 2)ゲ t (1+9/16) (-3 /4 ) 43у" — 51/16, l+y,2_ t , i+ 9 /1 6 _ 2 6i 卜 !/ 丨 y r — i 十 — 5 1 / і(з — 51,■ 6 8 ,. С ( 4 3 / 6 8 , 2 6 / 5 1 ) . ▲1113. Составить уравнение эволюты параоолыД Продифференцируем дважды уравнение параболы:4 " ゲ = 2 ,ゲ = 士 ; 切 , 2 + 切 " = 0 , / = — y = —Определяем координаты центра кривизны:( 1 + ,,2)•ゾ 1 Q j j p r AУ " — У 2 一 1/(4ゲ) 一 У ,I 4-» ) -. = y - ザ 一 у = - 4 ゲ .Получаем уравнение эволюты в параметрической форме: g = 3г/2, т] = —4у3.Исключив параметр у, найдем уравнение эволюты в явном виде: rj2 = 1б$3/27. ▲1114. һ а и ти р а д и у с к р и в и з н ы э л л и п с а х2/25 - f у2/9 = 1 в т о ч к еМ ( 0 ; 3 ) .1 1 1 5 . һ а и т и р а д и у с к р и в и з н ы в л ю б о й т о ч к е к а р д и о и д ы р == а ( 1 + c o s Ѳ ) ( а > 0 ) .1116. Найти кривизну линии x = et s in tJ у ~ e t cos t в точке / = 1 .1 1 1 7 . Н а й т и к о о р д и н а т ы ц е н т р а к р и в и з н ы л и н и и у = \ / х в т о ч к еМ ( 1 ;1 ) .1118. Составить уравнение эволюты кривой x = t sin t + cos t 9y = t sin t 一 sin t.184