полнотекстовый ресурс

3. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Частными произсо^нымивторо:о порядка от функции z •■= f (х,у) называются частные производкыеот ее частных производных первого порядка.Обозначения частных производных второго порядка:й(й)=й о ’ у)' = 0 уУ'і ( г у ) = і і һ =Аналогично определяются ивысших порядков, например:(ズ’ у、' 4 ( S ) = W2 = fyy レ’ y、.обозначаются частные производные третьего иâ ( f e ) = ë = (х'уУ' = (х' y) и т. д.Так называемые «смешанные» производные, отличающиеся друг от друга лишьпоследовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непреd2zd2zрыпны, например 办 办 一 如Дифференциалом второго порядка от функции z = f(x , у) называется дифференциалот ее полного дифференциала, т. e. d2z = d (dz).Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков:d^2 = d {d2z)\ вообще dnz = d (dn~1z).Если x и у — независимые переменные и функция / (х, у) имеет непрерывныечастные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формуламめ = & 办 2+ 2 Л む 斜 祭 妒ぬ が + 3 - ѣ - у dxi 料 3 w k dx dy2+w dy3-Вообще, имеет место символическая формулаdnz-{ê c dx+§ydy)n г'которая формально раскрывается по биномиальному закону.1228. z = y \n x . Найти 硬 ,^ ^ , vА u „ дг уА Найдем частные пр оизво д н ы е : 石 = — •’торно, получимй"=й(т)=_ 吾 ; 0 =ê (lnjc)=o:1229. г = ln tg (yjx). Найти— = l n x. Дифференцируя повd2zd f ydx dy dy \ x J xA . Sec2{У/Х)( — 吾 ) =d2z 丄 ___2 _____Ц — 2 cos {2y!x) • (2 x)dx dy x2 sin (2t//x) x2 sin2 (2y/x) —= ^ in 22(2y x) ' x)). ▲197