полнотекстовый ресурс

Пустьe; — b i^ti + b2i ^2 + わзіез »e 2 = ^ 12^ 1+02262 + ^ 3 ^ e 3».......................'e 3 = む13e l + ^ 2 3 ^ 2 + Ьзз^з— нормированные собственные векторы, соответствующие характеристическимчислам 入 і ,Я2, 入 з в ортонормироваином базисе ie^, е2, е3. В свою очередь, векторые^, еこ, образуют ортонормированный базис. Матрица/ Н і Ь і 2 ノ 13 \В = ! Ь2і ^22 ^23 jわ32办 33 ノявляется матрицей перехода от базиса еі, е2,е3 к базису е^, еこ,е^.Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонормирован«ному базису имеют видх і = ^ и х і + ^ 12^2 +х 2 ~ ^ 2 І Х 1 + ゐ2 2 \ + わ23ズ3 ,Х 3 — わ31ベ + ^32-^2 + わ33ぶ; .Преооразовав с помощью этих формул квадратичную форму / Гх1( x2t х3), получаемквадратичную форму/ ( ベ,ベ,べ) = 入 1ベ + 入 2ズミ+ 入 3 尤 ;,не содержащую членов с произведениями х[ х^хレ х! .Принято говорить, что квадратичная форма f (хи x2t х3) приведена к каноническомувиду с помощью ортогонального преобразования В. Рассуждения проводилисьв предположении, что характеристические числа Я і, 入 2, 入 з различны.При решении задач будет показано, как следует поступать, если среди характеристическихчисел имеются одинаковые.5 9 3 . П р и в е с т и к к а н о н и ч е с к о м у в и д у к в а д р а т и ч н у ю ф о р м уf = 27^1— 10x^2 + Зл*2-Д Здесь а1Х = 27, а12 = —5,— 3. Составим характеристическое уравнение2 7 — 3こ ' = 0 , и л и Я 2 — 3 0 Я + 5 6 = 0 ,т. е. характеристические числа Хг — 2, Я2 — 28.Определяем собственные векторы. Если Я = 2, то получаем систему уравнений( 2 5 L — 5 | 2 = 0 ,\ _ 5 忘 1+Таким образом, s2 = ^ îi- Полагая ^ — с, имеем g2 — 5с, j . е. собственный вектори = с (еі + 5е2).Если Я = 28, то приходим к системеf _ ЪІ— 5§2 = 0, *\ ■~ — 2 5 ^ 2 — О-В этом случае получаем собственный вектор \ —с( — 5еі + е2).Д л я того чтобы пронормировать векторы и и ѵ, следует принять с == і/|^ * 12 + 52= 1/ド 26. Итак, мы нашли нормированные собствен ные векторые і= (сх -f- 5 е 2 ) /26, ег —(— 5ej -f- Сг)/У26 •Матрица перехода от ортонорми-рованного базиса е і , к ортонормирован»ному базису е;, имеет вид132( l/)^ 2 6 —5 /|/"2 б \В Ѵб/К"26 1/^26/'