полнотекстовый ресурс

287. Определить расстояние от точки М 0 (3; 5; — 8) до плоскости6х— 3y-\-2z— 28 = 0.Д Используя формулу (8) расстояния от точки до плоскости, находимパ—16.3—3.5 + 2 .(_ 8 ) — 28 丨 灶у 62 + 32 + 22Так как результат подстановки координат точки М 0 в нормальное уравнениеплоскости отрицателен, то и начало координат лежат по одну сторону отзаданной плоскости. ▲288. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуМ (2; 3; 5) и перпендикулярной вектору N = 4i + 3j + 2k.Д Достаточно воспользоваться уравнением (9) плоскости, проходящей черезданную точку и перпендикулярной данному вектору:7 •4 (д: 一 2) + 3 ( " — 3) + 2 (z— 5) = 0 , т. e. 4x~\-3y-}-2z — 27 = 0. ▲289. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;3 ; —1 )параллельно плоскости Ъх— 3// + 2 г— 10 = 0.Д Запишем уравнение (9) связки плоскостей, проходящих через данную точку:Л(х—2) + В (г/— 3) + С ( г + 1 ) = 0 .Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором п === ( 5 ; —3; 2) данной плоскости; следовательно, Л = 5, В = —3, С = 2 и уравнениеискомой плоскости примет вид5 (х—2)—3 (у_ 3) + 2 ( г + 1)=0, или 5х—3ダ+22+1 = 0. ▲290. Из точки Р (2; 3; — 5) на координатные оси опущеныперпендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей черезих основания.Д Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоскости,служат следующие точки: М± (2; 3; 0),М 2 (2; 0; —5),М 3 (0; 3; —5). Используясоотношение (11),запишем уравнение плоскости, проходящей через точки А іі,М 2, М3:x — 2 у — 3 z0 一 3 一 5 = 0 ,или 15ズ+ 1 0 " — 6г— 60 = 0. ▲—2 0 —5291. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуА (5; 4; 3) и отсекающей равные отрезки на осях координат.Д Используя уравнение (4) плоскости в отрезках, в котором а = Ь = с, имеемx / a + y /a + z la = \. Координаты точки А удовлетворяют уравнению искомой плоскости,поэтому выполняется равенство 5/а + 4/а+ 3/а = 1 , откуда а = 12. Итак,получаем уравнение x -\-y -\-z — 12 = 0. ▲292. Составить уравнение плоскости, проходящей через линиюпересечения плоскостей х-\-у-\-Ъ г — 1=0, 2х-\-2>у—г + 2 = 0 и черезточку М (3; 2;1).Д Воспользуемся уравнением (10) пучка плоскостей:x-\-y-\-5z — 1+ X. {2х+ Зу 一 2+ 2) = 0.5 5