полнотекстовый ресурс

516. Дано множество 中 ункций/ ( ズ),непрерывных и положительныхна отрезке [ — а, а]. Доказать, что это множество является линейнымпространством, если за сумму векторов принять произведение соответствующихфункций, а за произведение вектора на действительноечисло \ — результат возведения в степень X соответствующей функции.Является ли подпространством множество всех четных функций этогопространства? Множество всех нечетных функций этого пространства?517. Рассматривается линейное пространство геометрических векторов.Образует ли подпространство этого пространства множествовсех векторов a = _Xi + y j + Zk, где X , Y и Z — рациональные числа?2. Подпространства, образованные решениями однородной линейной системыуравнений. Рассмотрим однородную линейную систему уравненийС а 11х 1 " \ - а 12х 2 + • ' .• + a ln x n ~j Û21ズ1 + み 2 ズ 2 + • ■ ' • + ^ 2 n ^n ニニ О,(りズі(Д Ранг матрицы• + a rnnx n =Пусть ズ1= 入 1 , 尤 2 = 入 2,• • • ,хп = 一 какое-нибудь решение системы. Запишем эторешение в виде вектора f = (À i; 乂 2; • • • 入 《). Совокупность линейно независимыхрешений f x, f 2, ..., f n системы уравнений ( 1 ) называется фундаментальной с и с т е ­м о й решений, если любое решение системы уравнений ( 1 ) может быть представленов виде линейной комбинации векторов f l f f 2, • • • ,f n .Теорема о сущ ествовании ф ундам ентальной системы реше н и й. Если ранг матрицыа 1 І а 12 • • • a in^21 ^22 ••• ^2n^ті ^m2 • • • amnменьше м, то система (1) имеет ненулевые решения. Число векторов, определяющихфундаментальную систему решений, находится по формуле k^=n — г, гдег — ранг матрицы.Таким образом, если рассматривается линейное пространство R n y векторамикоторого являются всевозможные системы п действительных чисел, то совокупностьвсех решений системы ( 1 )является подпространством пространства R n . Размерностьэтого подпространства равна k.518. Найти базис и размерность подпространства решенийлинейной однородной системы уравненийо+ 2ズ2+ 3ズ3+ 4 х 4о(1/2)ズі + ズ2+ (3/2)ズз + 2 х 4о( 1/3) Xi + (2/3) x2 + ズз + (4/3) x4о(1/4)ズi + (1/2 ) ズ2 + (3/4)ズ3 + л:41/ 2/ 3/ 433 422/3' 3/1 43 /31/2 /4равен 1,поскольку все миноры матрицы, кроме миноров первого порядка, равнынулю. Число неизвестных равно 4; поэтому размерность подпространства решенийk = n 一 r = 4 — I = 3 , т. е. это подпространство является трехмерным. Так как /•= 1 ,то из этой системы достаточно взять какое-нибудь одно уравнение.113