полнотекстовый ресурс

583. В четырехмерном пространстве дан базис f 1? f 2, f 3, f 4.С помощью векторов этого базиса построить ортонормированныйбазис того же пространства.Д Сначала построим в заданном пространстве какой-нибудь ортогональныйбазис g i, g 2, g3f g4-Положим gi = f i ,g2 = f24 -a ^i- Подберем действительное число а так, чтобывыполнялось условие g2 _L gi- Умножив скалярно на обе части последнего равенства,получимf e i » S 2) = ( ê i> f2 ) + a ( g i ,g i ) .Так как (gb g2) = °» то a = — (gb h V fe i,gi)-Далее, в равенстве g3 = f3- f ßjgx + ß2g2 подберем ßi и ß2 так, чтобы выполнялисьусловия g3 J _ g i, ёз J_ ё-2 - Из равенствfe i,ёз) = fél> Ь) + ßl fe» g l) + ß 2 (gl,§2),(g‘2, 泛 3) = (§2,Ь) + ßl tel» g2) + p2 (g.2,g2)получим ß i = — (gl, fs)/(gl, gl),ß2= — fe» Ь)/Й 2» g2). ,Наконец, из равенства g4 = f4 + Yigi + l,2g2 + Y3g3 находим ү і = —(gi, fj/fe i,gi),У2 = — (ё2 > U)/(ë2 y g‘2),7з = — Й з,f 4)/(g3, 忌 3) •Итак, при сделанном выборе а, ßx, ß2, У і , Уз векторы gi, g‘2,g3, g4 попарноортогональны. Значит, векторы e i= g i/| èi |,e2=g-2/| g2 1,e3= g 3/,| ёз I,e4= g 4/|g4|образуют ортонормированный базис. ▲584. Рассматривается евклидово пространство многочленов невыше второй степени. Скалярное произведение двух произвольныхмногочленов х = х (/) и у = у (/) определено равенством (х, у ) =i= 5 х ( О У ( 0 И с п о л ь з о в а в б а з и с f x = / 2 , i 2 = t , f 3 = 1 и п р и м е н и вометод решения, рассмотренный в задаче 583, построить для этогопространства ортонормированный базис.Д Сначала построим ортогональный базис g i , g3. Положим gi = f 1? т. e.ëi = i 2> g2 = f 2 + agi = / + a /2. Тогдаl 1 1^ g2t2 dt i 3 d t-\-a { dt.0 0 0В силу ортогональности векторов g i и g2 левая часть последнего равенства обращаетсяв нуль. Таким образом, а = — 5/4 и g2 = ^ — 5/2/4.Найдем теперь g3. В равенстве g3= 1+ ß i^2 + p2 i f — 5^2/4) значения ßi и ß2определяем из условий ортогональностиi 1f g 3Z2 d / = 0 и j g 3 ひ — j " d t = 0 .оüТаким образом,iIÇ t2 Л + ß i ^ t^d t и 0 = І ( 卜 4 t2j d t + p ,. i'2 dt.0 0 0Отсюда ß1= — 5/3, ß2= — 4,g3 = 1 - 5 ^ 3 - 4 ( / - 5 / 2;4), т. e. g3 = l — 4/ + 10P/3.5 K2 f 474 129