полнотекстовый ресурс

Для произвольных векторов х и у евклидова пространства имеют место следующиеважные соотношения:1 .|х + у| く |х| + |у| (неравенство треугольника).2. Пусть ф — угол между векторами х и у; тогда | х — у |2 = | х |2 + | у |2 —— 2 I x I • I у I cos ф (теорема косинусов). Если х 丄 у, то получается равенствоI x — у j2 = I x |2 + 1 у I2. Заменяя в последнем равенствеу на — у, получаемI Х + У І2 = | х |2 + | У I2 (теорема Пи 中 а гор а).562. Дано линейное пространство, рассмотренное в задаче 461.Можно ли скалярное произведение двух произвольных векторовx = (?!;В2; . . В и) п у = ( i ] j;ті2 • • • ; т]п) о п р е д е л и т ь р а в е н с т в о м ( х ,у ) == Ё1г|1 + | 2і]2 + . . . - f (для того чтобы это пространство сталоевклидовым)?Д Проверим выполнение условий 1°—4°.1°. Так как (у, х) ふ + т]2| 2+ … + т )л| „ ,то (х,у) = (у, х).2е. Пусть z = (Çr, С-2 ; U - Тогда y + z = (r]1 + Ci;% + ^2;… ; ルj + k ) и(X,у + Z) = §i1]l + ElT]i + ^2^2 + I 2S2+ • • • + + inZn —==(ъ1Т11 + ?2ТІ2+ … + ЬИТЬ) + (blSl + ^2^2 + • . . + U / 2) — (x,У) + (х, z).3°. (Ix , y) = + • • • ^ (ІіЛ і + І 2Л2 + . . • + In^n) = ^ (x, y).4°. ( \, x) = gi + go + . . . + l n Ф 0, если хотя бы одно из чисел し •••, l nотлично от нуля.Значит, в заданном пространстве с помощью указанного равенства можноопределить скалярное произведение. ▲563. Дано евклидово пространство, рассмотренное в задаче 562.Пусть I ” ••., І п — количество n видов изделий, выпускаемыхежедневно заводом, a у\іу г|2, • • . , у]п— соответственно цены этихизделий. Как можно истолковать скалярное произведение векторовх = (?г, ?2; и у = (Лі;Л2; … ;ть)?564. Дано линейное пространство, векторами которого являютсявсевозможные системы, состоящие из n положительных чисел: х =(ミ1’ €2’ . • . , ミ《) ’ У — 0"Ь, Л2, • • • , Лп), Z (^ 2 » 〔2’ • • . , Gn), • . • •Сложение векторов и умножение вектора на число определены равенствамих + у Ê2r]2, • • . ,ІЛ п ), 入 х = 沿 ,Ц 於 ).Можно лисделать это пространство евклидовым, определив скалярное произведениеравенством (х, у)= In In ル + ln In т]2 十 • • • + ln l n lnД Проверим выполнение условий 1° — 4°.г°. (х, у ) = ln h ln Пі + în Із ln r\2 + • •. + 】n ln In r\nt (y, x ) = ln Г]!ln h ++ ln Л-2 ln g2 + • . • + ïn r i„ln l nt T . e. (X,y ) = ( y , x ).2°. Гак как y + z = (i]1Ç1; r|2kパ то(X, y + z)= ln Ix ln (mSl)+ ln ln (TlÆ) + ... + ln し ln (r\nZn) == ln g l ln n 1 + ln l 2 ln V)2 + . . . + ln し ln r\n + ln h ln Sl ++ ІП І 2 ln ^2 + . . . + ІП l„ ln Ç„ = (x, y) + (X, z).3 . Так как = i b … ,l n ) t то(>.X, у ) = ln II ln rjx + ln І2 ln r ] 2 + . . . - f ln ln ln 1]„ == 入 (ln h ln TU + ln ln ТІ2 + • • • + ln ln ln rj„) = X (X , y ) .4 ° . ( X ,x) = ln2 61 + ln2 i 2 + • • • + în 2 ln ^ 0 .Следовательно, рассматриваемое пространство является евклидовым. ▲565. Рассматривается линейное пространство непрерывных в промежутке[a, ü\ функций х = х(/), у = у(/), z = z(/),___ Можно ли125