полнотекстовый ресурс

1506. Найти интеграл I = i —Q--~ —dx.J xД Положим x = a sin /, тогда dx = a cos t dt и заданный интеграл примет видj ( V а2 — a2 sin2 t , ,J = \ ---------- :~ :-------a cos t dt =J a sin tf cos2 t ,. Ç 1— sin2 t f dt Г . .= a \ —~ r - dt = a \ ------ :~ ~ d t= a \ —~ — a \ sin t dt =J sin t J sin t J sin t J= a In I cosec t — ctg 11-f-a cos t-^-C.dtД ля нахождения интеграла ^ ~ r мы воспользовались формулойsin t= ln I cosec t — ctg t \-\-C, так ка к с ее помощью легче перейти к прежней переменнойX.Таким образом, получаемcos tI = а In ! cos / + С,sin t sin tгде sin t = xja, cos t = y~a2— x2/a. Следовательно,-У a2 — x2I = a ln - \ - V a2— x2 + C.dx1507. Найти интеграл / = i ______j x y a2+ x2Д Применим подстановку х = а tg t y откуда d x = a sec21 dt. Тогда получимj _ Ç а sec2 t dt __ 1 sec2 1 dt —_ Ja tg / ]/ ö2_j_a2tg2 tsecZ 一= = i ln I cosec ;_ d g t \ + C,где tg t = x/a и, следовательно, ctg t = a/xtИтак,cosec / = ] / 1- f ctg2 t = y a2 + x2!x.1508. Найти интеграл / = Г— .J y x2— a2А Применим подстановку х = а sec t ,откуда d x ~ a sec t ig t dt. Тогда получим/ = Г fl2 弓 ヴ 縱 … dt = a- Г seC3 t dt.J y a2sec2/ —a2 JДалее применим рекуррентную 中 ормулу (1)п. 5 при п = \:Г с^ 3 , 1 sin / 1 f sint , 1 Г dt\ sec t dt —-рг s- ;~j \ sgc/ d t= —---- --j—jr- \J 2 cos2 / 1 2 J 2cos2 t * 2 J cos ^= 2 ^ 7 + Т 1пІ£ес;+ 1е^ + С'где sec t = x/a, cos t = a /x ,sin t = Ÿ~x2— a2lx, i g t — ^ x 2 — a2/a.r a2 sin / , a2 , . ^ , ハ+ -n -ln f sec/ + tg/| + C==2cos2 tСледовательно,ド^2—°2+ -2 ln c + y x2~~c + C.9 № 1474 241