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www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formulario2. GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANORettaEquazione in forma implicita ax by c = 0Equazione in forma esplicita y = mx qRelazione tra i coefficientia cm = , q = e b 0 .b bm si dice coefficiente angolare o pendenza, q si dice intercetta o quota.Retta parallela all'asse x y = k Retta parallela all'asse y x = h Retta passante per due punti A = x1,y1 e B = x2,y2x x1 y y1=x2 x1 y2 y1 Coefficiente angolare di una retta passante per due puntiy1 y2m =x1 x2se x1 x2 Condizione di parallelismo:tra le rette ax by c = 0 e a'x b'y c'=0 a b' b a'= 0 .tra le rette y = mxq e y = m'x q'm = m' Condizione di perpendicolarità:forma implicita a a' bb'=0 forma esplicita m m' = 1. Fascio improprio di rette:Se la retta data è ax by c = 0 il fascio è ax by k = 0Se la retta data è y = mxq il fascio è y = mx k Fascio proprio di retteSe ax by c = 0 e a'x b'y c'=0 si intersecano in P( x0, y0)l'equazione del fascio proprio è h( ax by c) k(a'x b'y c')= 0hposto = si hak ( ax by c) a'x b'y c'=0al variare di R si hanno tutte le rette del piano passanti per P , ad eccezione di ax by c = 0 .| ax by0 cDistanza punto-retta: dato P( x0, y0)e la retta ax by c = 0 , la distanza è d =2 2a bCirconferenzaEquazione della circonferenza di centro ( , )e raggio R22 2( x ) ( y )= R0|2 22 2a b a b L'equazione x y ax by c = 0 , se c 0 , rappresenta la circonferenza di centro , 4 4 2 2 e raggio2 2a b 1 2 2R = c = a b 4c4 4 2Circonferenze con centro nell'origine2x 2 2Circonferenze passanti per l'origine x y ax by= 0 Fasci di circonferenze:22Circonferenze concentriche di centro ( , )( x ) ( y )= ky22 22 2Date le circonferenze x y ax by c = 0 e x y a x b y c = 0 , l’equazione del fascio è= R2 22 2x y ax by cx y a x b y c = 0, 01 1 12 22 2posto 0 , t si ha x y ax by ctx y a1x b1y c1= 0, t 1che rappresenta una circonferenza tranne per t 1, caso in cui la circonferenza degenera in una retta.Se a a1 b b1; se a a1 b b1le due circonferenze sono concentriche e l’equazione del fasciodegenera in un numero (polinomio di grado zero in x e y).321112

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formulario Asse radicale di una circonferenzaè la retta che si ottiene imponendo t 1nel fascio di circonferenza di equazione2 22 2x y ax by ctx y a1x b1y c1=0 nel caso in cui a a1 b b1, ed è perpendicolarealla retta che congiunge i centri delle circonferenze stesse: a a1 x b b1y c c1 0Se le due circonferenze si intersecano in A e B, punti base del fascio, l’asse radicale è la retta AB.Se le due circonferenze sono tangenti l’asse radicale è la retta passante per T e ivi tangente ad ognicirconferenza del fascio.x , y , x , y , x y Circonferenza passante per tre punti xxdetxx1231 1 2 2 3,yyyy123xxxx2212223 y y y y2212223131 01ParabolaLa parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa dettadirettrice. Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse yEquazioneFuocoF = 22y = ax bx c con a, b,c R e a 0 .ba21b 4ac ,4adirettrice11by =4a2 4ac2bAsse di simmetria x = 2avertice b b 4ac V =, 2a4aConcavità:se a 0 la parabola ha concavità verso l'alto, si dice convessa, ha minimo nel vertice;se a 0 la parabola ha concavità verso il basso, si dice concava, ha massimo nel vertice. Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x2Equazione x = ay by c con a, b,c R e a 0 .21b 4acbFuoco 1b2 4acF = , direttrice x = 4a2a4a2bAsse di simmetria y = 2avertice b 4acb V = , 4a2aConcavità: se a 0 concavità verso destra, se a 0 concavità verso sinistra.EllisseUn'ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi dettifuochi. Equazione canonica: x 2 2y = 1 dove 2 2a ,b > 0a bSe a b l'asse focale è parallelo all'asse x , se a b l'asse focale è parallelo all'asse y .Se a = b si ottiene l'equazione di una circonferenza con centro nell'origine e raggio a .22Equazione dell'ellisse traslata rispetto al punto ( x 0,y ( x x0)( y y0)0) = 1 .22a bx= a cos( t) x0Equazione parametrica , t [0,2)=bsin(t) x02 2x yData un'ellisse di equazione = 12 2 , le coordinate dei vertici sonoa bVertici: A = ( ,0) A = ( ,0) B = (0, ) B = (0, )1a2a1b2b4

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formulariobAsintoti: y = xaAsse focale:se a b l’asse focale è A 1A2, l’asse minore è B 1B2se a b l’asse focale è B 1B2l'asse minore è A 1A2se a > b la lunghezza dell'asse focale è 2 ase a b la lunghezza dell'asse focale è 2 bFuochi2 2Posto c = | a b | , le coordinate dei fuochi sonose a b F1= ( c,0)F2 = ( c,0)se a b F1= (0, c)F2 = (0, c)EccentricitàData un'ellisse di equazione x 2 2y , e posto 2 2 = |2 2c a b |a bcse a b l'eccentricità vale e = ,acse a b l'eccentricità vale e =bSe a , b 0 , con a b , risulta 0 e 1. Se a = b , ossia per la circonferenza, risulta e = 0 .IperboleL'iperbole è il luogo dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi dettifuochi.2 2x yIperbole con i fuochi sull'asse x e simmetrici rispetto all'origine = 12 2 cona, b R .a b2 2x yIperbole con i fuochi sull'asse y e simmetrici rispetto all'origine = 12 b2a sin( t)x= a cosh( t)x = acos( t)3Equazione parametrica , t [0,2) o , t [0,2) \ , y= bsinh(t) b 2 2y =cos( t)Vertici:2 2x yse = 12 2 i vertici sono A1 = ( a ,0) A2 = ( a,0)a b2 2x yse = 1i vertici sono B = (0, )2 b21b B2 = (0, b)abAsintoti: y = xa2 2Fuochi: posto c 2 = a bse appartenenti all’asse x hanno coordinate F1= ( c,0)F2 = ( c,0)se appartenenti all’asse y hanno coordinate F1= (0, c)F2 = (0, c)EccentricitàcSe i fuochi appartengono all'asse x l'eccentricità vale e =acSe i fuochi appartengono all'asse y l'eccentricità vale e = .b Iperbole equilatera5

SeSewww.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formulario2 2 2a = b e i fuochi appartengono all'asse x l'iperbole equilatera è x y = aa = b e i fuochi appartengono all'asse y l'iperbole equilatera èx2 y2= aGli asintoti di un'iperbole equilatera sono y = x e y = x, l’'eccentricità è e = 2 . Iperbole equilatera riferita agli assiUn'iperbole equilatera ruotata di 45 ha per asintoti gli assi cartesiani, l’equazione è xy = k Funzione omograficaUna funzione omografica è un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani, ma nonnecessariamente coincidenti con gli assi stessi.ax bDati a, b,c,d R , con c 0, l'equazione di una funzione omografica è y =cx ddSe ad bc = 0 l'equazione è una retta parallela all'asse x privata del punto di ascissa c d a Se ad bc 0 l'equazione rappresenta un'iperbole equilatera con centro di simmetria , e asintoti c c d ax = e y = .c cAltri luoghi e proprietà 1 2 1 2 Punto medio di un segmento AB: se A( x1, y1)e B( x2, y2)il punto medio è x x ,y My 2 2 . Distanza fra due punti (lunghezza di un segmento)Se A ( x 1, y ) e B ( x 2, y ) la lunghezza di AB è=1=2d = ( x x y221) ( y 2) Asse di un segmento AB2 2 2 2Se A = ( x 1, y1)e B = ( x 2, y2)l’asse è 2( x1 x2)x 2( y1 y2)y (x1 x2) (y1 y2) = 0 BisettriceDue rette distinte a1x b1y c1= 0 e a2x b2y c2= 0 individuano nel piano quattro angoli, le cui bisettricia1 x b1y c1a2x b2y c2a1 x b1y c1a2x b2y c2sono== 2 22 22 22 2a b a ba b a b1122 Luogo dei punti a distanza assegnata da una rettaIl luogo dei punti a distanza d dalla retta ax by c = 0 è dato dalle due rette di equazione2 22 2ax by c d a b = 0 ax by c d a b = 0 Baricentro di un triangoloDato un triangolo di vertici in A ( x 1, y ), B ( x 2, y ) , C ( x 3, y ) ,le coordinate del baricentro sono=1G =x=2=31 x2 x3y1 y2 y33,113222 Area di un triangoloSe i vertici del triangolo sono A ( x 1, y ), B ( x 2, y ) , C ( x 3, y )=1=2=3 x1y111 1la sua area vale Area = detx2y21= x1y2 x3y1 x2y3 x3y2 x1y3 x2y12 2x3y31 6

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioTrasformazioni geometricheX x aTraslazioni nel piano Y= y bRotazioni nel piano di centro O in senso antiorario di un angolo X= xcos ysincos sin22con cos sin 1 0Y= xsin y cossincosRototraslazioni nel piano di centro C a, bin senso antiorario di un angolo Xxcos ysin a a cos bsincos sin2con cos sinY= xsin y cos b asin bcossincosX ax by m a bAffinità con ad cb 0Y= cx dy nc dX ax by m a b2 2Similitudine diretta con a b 0Y= bx ay nb aX ax by m a b2 2Similitudine indiretta con a b 0Y= bx ay nb a=2Il numero k 2 2a b è detto rapporto di similitudine.X ax by ma b2 2Isometria diretta con a b 1Y= bx ay nb aX ax by m a b2 2con a bY= bx ay nb a X kx k 0Omotetia di centro O e rapporto k con k2 0Y= ky 0 kDilatazione di centro OX kxY= hycon h,k 0Simmetria rispetto all’asse delle ascisseX xY ySimmetria rispetto all’asse delle ordinateX xY yX xSimmetria rispetto alla retta y k è Y y 2kX x 2hSimmetria rispetto alla retta x h è Y yX ySimmetria rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante Y xX ySimmetria rispetto alla bisettrice del 2° e 4° quadrante Y xSimmetria rispetto all’origineX xY yX x 2aSimmetria rispetto al punto C a, bè Y y 2bIsometria indiretta 1 1 07

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formulario3. GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA2sin 2 Prima relazione fondamentale cos 1Con sin 21cos ,cos 21sin Secondasintan , k, k Zcos 2 Terzacos 1 cot , k, k Z oppure cot , k , k Zsintan2 Quarta1 sec , k, k Zcos 2 Quinta1cosec , k, k Zsin Archi associaticos = cos sin = sin tan = tancos = cos = sin tan = tan sin cos 2 2 2 cos = sin sin = cos tan = cot 2 2 2 Formule di addizione e sottrazionesin sincos cos sin cos cos cos sinsintan tan tan , ,, , k, k Z1tantan 2cot cot 1cot , ,, , k, k Zcot cot Formule per la duplicazione22222 2sincos cos 2 cos sin 12sin 2cos 2tan tan2 , k, k , k Z21tan 2 4 22cot 1cot2 , k , k Z2cot 2 Formule di triplicazione33sin3 = 3sin 4sin cos3 = 4cos 3cos33tan tan tan 3=, k , k Z213tan 6 3 Formule per la bisezione 1cos 1cossin cos 2 22 2 = sin sin = cos tan = cot sin 1 1costan , 2 1cos Formule parametriche2 tansin 2, 2k1 ,2 1tan22k1, k Z 1coscot , 2k,2 1cos1tan k Z cos , 2k1, k Z1tan2222k Z8

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formulario2 2 tan1tan2 tan , k, k Z tan2, k, k Z2 21tan2 tan22 Formule di prostaferesi sin sin 2sincos sin sin 2cossin 2 2 2 2 cos cos 2coscos cos cos 2sinsin 2 2 2 2 sin sintan tan , , k, k Z cot cot , , k, k Zcoscos 2sinsin Formule di Werner11sin cos sin sin cos cos scos in cos 221sin sin cos cos 2 Formule di Briggsa b cSiano a,b,c,p la lunghezza dei tre lati ed il semiperimetro di un triangolo. Si ha:2 p b p c pp asin 2 sin 2 sin 2tantantanbcp a p cacp a p babcos 2 cos 2 cos 2bcp p cabp p bac p b p c pp acot2 pp a 2 p b p c p a p c pp bcot2 pp b 2 p a p c p a p b p p ccot 2 pp c 2 p a p bConversione fra radianti e gradi misura in radianti, misura in gradi: 180 = = 1809

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formulario Archi notevoli (radianti) (gradi)012108654310338255122sin cos tan cot 0 0 1 0 non esiste151822 30306 45 142 2121436 10 2 545546067 30225 14322 272 10 2 575146 42222146 4210 22 232145 142212210 22 25 146 422552 3 2 35 2555 22 1 2 1335 251 15 253535 255 2332 1 2 15 255 252 3 2 390 1 0 non esiste 0555510

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioTriangolo rettangolob = asin = acos,c = asin( ) = acosb = c tan = ccot , c = btan = bcot Teorema della cordaSia R il raggio della circonferenza, e sia l'ampiezza dell'angolo allacirconferenza sotteso dalla corda AB , allora la lunghezza di AB èAB = 2Rsin()Triangolo qualsiasi Area del triangolo1 1 1A = absin = bcsin = acsin2 2 22 sinsin 1 2 sinsin 1oppure A a b c2 sin 2 sin 21 2 sinsinsina b cTeorema dei seni = =sin sin sinTeorema del coseno (o di Carnot)2 2 22 2 22 2 2a = b c 2bccos b = a c 2accos c = a b 2abcosTeorema delle proiezioni a = bcos ccos b = acos ccos c = acosbcosRaggio della circonferenza inscritta in un triangolo di area A e semiperimetro pA r = = p atan = p btan = p ctanp 2 2 2 a b cRaggio della circonferenza circoscritta a un triangolo R = = =2sinRaggio della circonferenza exinscritta tangente, rispettivamente, ai lati di misura a , b , c :r = A arb = A rc=Ap a p b p cabc= 2sin 2sin 4ALunghezza della mediana relativa, rispettivamente, ai lati di misura a , b , c :1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2m a= 2b 2c a m b= 2a 2cbm c= 2a 2b c222Lunghezza della bisettrice relativa, rispettivamente, agli angoli di ampiezza , , : 2bccos2accos2abcosb 2=b 2=b 2 =b ca ca b tan cota bTeorema delle tangenti o di Nepero 2 2a b tan tan 2 2 Significato trigonometrico della pendenza di una rettam coefficiente angolare della retta e misura dell’angolo tra retta e asse delle ascisse: m tanAngolo tra due rettem m'm ,m' coefficienti angolari delle rette, misura dell’angolo tra le rette. Si ha tan1mm'211

Coordinate polariwww.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formulariox cos, , : y sin xy2 2 x y y arctan se x0 e y0x y arctan 2 se x 0 e y 0 x , , : y arctan se x 0 x se x0 e y 0 2 3 se x0 e y02 xy 12

4. ANALISILimitiwww.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioProprietà dei limitiSe lim f ( x)= l R e lim g(x)= l R , alloraSeSeSexx0xx01xx0lim f ( x)= l1, Rxx0lim 1 1= , l 0xxf ( x)l10lim f ( x)= l R exx0xx01lim g(x)= , alloraxx0lim f ( x) g(x)= lim f ( x)= lim g(x)= , alloraxx0xx0lim f ( x) g(x)= lim f ( x)= l R /xx00e2lim f ( x) g(x)= lxx0f ( x)l1lim = , l2 0xxg(x)l0xx021 llim f ( x) g(x)= lim f ( x) g(x)= xx0lim g(x)= , alloraxx02lim f ( x) g(x)= l lxx0 se l > 0f ( x)lim f ( x) g(x)= lim = 0xx0 se l < 0xx0 g(x)Se lim f ( x)non esiste, ma f (x)è una funzione limitata, e se lim g(x)= 0 , alloraxx0lim f ( x) g(x)= 0xx0Se lim f ( x)xx0xx0xx0non esiste, ma f (x)è una funzione limitata, e se lim g(x) lim f ( x) g(x)= xx0f ( x)lim = 0g()xx0 x, allora1213

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioTavola dei limiti notevoli Razionalinn1anx an1x a0lim=mm1xb x b x bmm1 0an an an se n m e 0; se n m e 0; se n m; 0 se n mbm bm bmEsponenziali e logaritmici 1lim 1 xx xx ea lim 1 x xx ex 11 lim lim 1 ax x exx 1ex0loga1 x1lim logae a Rx0xln aa x 1lim ln a,a R / 10xxlim log x a (1,)x0alim logxax aa/ 114a lim 1 x xln 1xlimx0xbx e 1ab11lim ax0xe x 1lim 1x0 xlim log x a 0,1x0 a (1,)lim logaaxlim a xxlim a xxlim x bxx ax a xlim a 1 0 a (1,)x0lim a xxlim a xxlim x bxx0 a 0 a 0,10,1 b 0, logaxlim a rxb xxlim x a = lim a , b Rxxxxaxlim = lim a , b Rbx xx blim e x = 0, b Rx0,1 , r R, a R, a R/ 1/ 1 Goniometrici e iperbolicisin xsin mx mlim 1lim x0xx0nx ntan xtan mx mlim 1lim x0xx0nx narctan xarctan mxlim 1 lim x0xx0nxx sin x 1tanh xlim lim 1x03x 6x0xlimx2tan x lim cot x x0lim tan x x2mnlim xx0xr a (1,) 0logab ,0x 0x a R0,11 ,/ r Rlogaxlim a (1,), r Rx0rxb xxlim | x | a = lim a , b Rlimxxabx= lim ax1cos xlim 00xarcsin xlim 1x0xsinh xlim 1x0xsettsinh( x)lim = 1x, b R, a Rx x02x0 xlim arctan x / 11cos x 1lim 2xarcsin mx mlim x0nx ntanh xlim 1x0xsetttanh( x)lim = 1x0 xlim arctan x x2 x2lim cot x xlim arccot x lim arccot x 0xPunti di discontinuità Discontinuità di prima specieSia f : X R con X R e x 0 X di accumulazione per X (a sinistra e a destra) e siano l R, l R .x 1

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioSi dice che f presenta un punto di discontinuità di prima specie in x0selim f x l l1 lim f x0xx0xx Discontinuità di seconda specieSia f : X R con X R e x 0 X di accumulazione per X , se almeno uno dei limiti destro o sinistro èinfinito o non esiste allora si dice che presenta un punto di discontinuità di seconda specie in x0 Discontinuità di terza specieSia f : X R con X R e x Xl R, lim f x , se f x l o0di accumulazione per X e siano lf x 0non esiste, allora si dice che f presenta un punto di discontinuità di terza specie o eliminabile in0Derivatef ( x0 h) f ( x0)f : ( a,b) R si dice derivabile in x0 ( a,b)se e solo se limh0hesiste finito.Il limite si dice derivata prima di f in x0e si indica con uno dei seguenti simbolidff '( x0 ) o ( x0) o D[ f ]( x0) o f ( x0)dxProprietà della derivata e regole di derivazione Linearità Additività ( f g)'=f ' g'Omogeneità ( f )'= f ' con R Derivata di un prodotto ( f g)'=f ' g f g' f f ' g f g' Derivata di un quoziente =2 g g Derivata del reciproco 1 g' = 2 g g( g f )'= g'f ( x) f '( x Derivata di una funzione composta ) Derivata di una funzione potenzann1f x' n f x f 'Derivate di funzioni del tipof ( x)g(x)g(x)g(x) ln f ( x)g(x)f( x)'= e'= f ( x) g'(x)ln f ( x)'' xf '( x) g(x) f ( x)'| f ( x)| = sgn f ( x) f '( x Derivata di un valore assoluto )Derivata della funzione inversaf : A B invertibile, g : B A l’inversa, se f è derivabile in x e f '(x) 0 si ha g '( y)=xx01f '( x)x .15

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioDerivate delle funzioni elementaricostante 0D x cos x12Dtanx 1tan x2cos xx xDa a ln a1 1Dlogax logae x xlnaD x cosh x1Dx2cosh xDsettsinh(x)121xDsetttanh(x)121xDarcsinx121xDarctanx 121x 1D D xxsin Dcosx sinx12 Dcotx 1 xx x 2sin xcotD e eD ln x1xD cosh x sinhD coth x1 2sinh xD settcosh( x)1x2 11D settcoth( x)1xD arccos x 121xD arccot x1 1xsinh xtanh 2 2Teoremi sulle derivate Teorema di FermatCondizione necessaria ma non sufficiente affinché un punto sia di massimo o minimo relativo.Sia f : X R con X R e x 0 X di accumulazione per X (a sinistra e a destra) con f derivabile in x0,allora x0è un punto di massimo o minimo relativo per f f ' x0 0 Teorema di RolleSia f : a,bR con f continua in a, be derivabile in a, btale che f a f b, alloraca, b|f ' c 0 Significato geometrico del teorema di RolleSe il grafico di una funzione è dotato di tangente (cioè è derivabile) in tutti i punti interni all’intervallo a,bed assume lo stesso valore agli etsremi dell’intervallo, allora esiste un punto in cui la tangente è orizzontale(la funzione ha un massimo o un minimo). Teorema di Lagrange o del valor mediofSia con f continua in a, be derivabile in a, b, allora b f a c a,b | f ' c b a Significato geometrico del teorema di LagrangeSe un arco di curva continua in a, bè dotato di tangente in tutti i punti dell’intervallo a, besclusi al piùgli estremi, allora esiste un punto interno all’arco in cui la tangente è parallela alla corda congiungente gliestremi dell’arco di curva. 1° Corollario del teorema di LagrangeSia f : a,bR1)f2)f3)xcontinua in a,bxderivabilein a,bf ' x 0 f ' x 0 x a,b2° Corollario del teorema di Lagrange16 f è crescente x a,b f è decrescente x a,b

Sia f : a,bRfwww.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formulario1)f2)f3)xcontinua in a,bxderivabilein a,bf ' x 0 x a,b3° Corollario del teorema di Lagrange: a,b Sia R1)f2)3)f 'xcontinua in a,bf xderivabilein a,bf ' x 0 x a,c e f ' x 0 x c,bx 0 x a,c e f ' x 0 x c,bTeorema di Cauchy o degli incrementi finiti f è costante x a,b cè ascissa di minimo assoluto per f in a,b cè ascissa di massimo assoluto per f in a,Siano con f : a,b R,g : a,bR continue in a, be derivabili in a, btali che g' x 0 xa,bf 'allora cf b f ac a,b | g'cgb gab , Teorema di De L’HospitalSe f x, gxsono definite in un intorno Ixdel punto x00(finito o infinito), escluso al più il punto x0, sef x0 f 'lim si presenta nella forma indeterminata , , se xg'x 0 x Ix xxx00 gx0e se esiste lim0 x x0g'xf xf ' xallora lim lim .x x0 gxxx0g'xIntegraliDefinizione di primitiva. Si dice che una funzione F (x)è una primitiva di f : I R ( I è un intervallo ef è continua) se e solo se F ( x)= f ( x)per ogni x I .Proprietà dell'integralebbb Linearità additività f( x) g(x)dx= f ( x)dx g(x)dxSeOmogeneitàAdditività rispetto all’intervallo di integrazionebf ( cbx)dx = f ( x)dx g(x)dxaabab f ( x)dx = f ( x)dx con Ra dove c a,b:a b cb Convenzione f ( x)dx = f ( x)dxa se a bb Monotonia o teorema del confronto Se f x gxin a, ballorabb f ( x)dx g(x)dx Valore assoluto f ( x)dx f ( x)dxTeorema fondamentale del calcolo integralebaaacbabf xè continua in a, bed F xuna prmitiva di f xin a, b, allora f ( x dx Fb FaTeorema della mediaaaa1b a aa )bSe f : a,bR è continua, allora c a,btale che f c f ( x)dxa17

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioIntegrali indefiniti immediati 1 f ( x)f '( x) f ( x)f '( x)dx = c, 1dx f x c 1 = ln ( )f ( x) f ( x)sin f ( x)dx= cos f ( x)c f '(x)cosf ( x)dx = sin f ( x)f '( x)f '( x) = tan f ( x)cdx f x c2cos f ( x) = cot( ) 2sin f ( x)f ( x)f ( x)f ( x)f ( x) f '(x)e dx = e c f '( x)a dx = a loga( e) cf '( x)f '( x) dx = arcsin f ( x)c2 dx = arctan f ( x)21f ( x)1 f ( x)' c cn1kn x dx kxc x dx c n 1n 11 dx ln x cx sin xdx cosx c cos dx sin x c1 dx tan x c2cos x1 dx cotx c2sin x tanxdx lncos x c cot dx ln sin x c sec ( x)dx = ln|sec( x) tan( x)| c csc ( x)dx = ln|csc( x) cot( x)| c arcsin( x)dx = xarcsin(x)21x c12 arctan( x)dx = xarctan(x) ln(1x ) c2 sec 2 ( x)dx = tan( x) c csc 2 ( x)dx = cot(x) csin(a b)x sin(a b)x 2 2 sin(ax)sin(bx)dx = c,a b2( a b)2( a b)sin(a b)x sin(a b)x 2 2 cos(ax)cos(bx)dx = c,a b2( a b)2( a b)cos(a b)x cos(a b)x 2 2 sin(ax)cos(bx)dx = c,a b2( a b)2( a b)n1nn 1cos ( ) = cosn2 x dx ( x)sin(x) cos ( x)dx,n 2nnn1ntan ( ) = tann2 x dx( x) tan ( ) , 21 x dx nnn1ncot ( ) = cotn2 x dx ( x) cot ( ) , 21 x dx nn1 1 1n 2 1 dx =tan( x), 22 2cos ( ) 1cos ( ) 1 dx nnnnx n x n cos ( x)1 1 1n 2 1dx = cot( x), 22 2sin ( ) 1sin ( ) 1 dx nnnnx n x n sin ( x)n1m1n m sin ( z)cos( x)n 1n2m sin ( x)cos( x)dx = x x dx n mn m n msin( )cos ( ) ,n1m1n m sin ( x)cos( x)m 1n m2 sin ( x)cos( x)dx =x x dx n mn m n msin( )cos ( ) ,18

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularionnn1xsin( x)dx = x cos( x) nxcos( x)dx ln ( x)dx = xln(x) x cx x logb(x)dx = xlogb( x) xlogb(e) c e dx e cxx a1 x a dx cdx arcsin cln a 2 2a xa 1 1 x dx arctan 1 c2 2a x aa dx = settsinh xc2 x 11 1 x dx arctan 1 c2 2a x aa dx = settsinh xc2 x 1212 2 x 2 2 a2 2 dx = settcosh xcx a dx x a x x a c2 =ln(||)x 1221 1 x a 1 dx = ln cdx x c2 2a x 2a x a = arccos( )21x1 2 22 x 2a x dx aarcsin 1x a x22 2 c2a dx ln x x a c2 2 x a1x x dx ln tan cdx csin x 2 1 ln tancos x 2 4 x x sin 2xx xsin 2 dx cdxc 2 4 x sin 2 cos 2 2 4 sinh x dx cosh x c cosh xdx sinh x c11 dx tanh x ccoth2cosh x dx x c2sinh x tanh xdx= lncoshx c coth xdx= ln | sinhx| c x sech xdx= setttanh sinhx c cosechxdx= lntanh c 2 2 2settsinhxdx= x settsinh xx 1 c settcoshxdxdx= x settcosh xx 1 c2ln 1 x setttanhx dx = x setttanhx c2Integrazione per parti. Se in un intervallo f , g sono due funzioni continue con derivata continua, alloraf ( x) g'(x)dx = f ( x) g(x) f '( x) g(x)dxIntegrazione per sostituzione. Se f è una funzione continua su a, be g una funzione invertibile ederivabile con derivata continua su c, d, alloracon c ga d gb , .f ( x)dxxgtbaf ( x)dxxg=tfdcgftg g'(t)dtt g'(t)dt19

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioLunghezza di una curvaData la curva di equazione f xdell’arco di curva grafico della funzioneLb 1 f ' xa2dxCalcolo di areeL’area della regione di piano delinitata dal grafico diy con x a,bed f xcontinua e derivabile in by f xrelativamente ad a, bèy f xe gxa, , la lunghezzay e dalle rette x a, x b conf x, gxcontinue in a, be tali che f x gx xa,bè data da A f xgxCalcolo di volumiSe y f xuna funzione continua in a, b, il volume del solido generato dalla rotazione completa attornoall’asse delle ascisse del trapeziode delimitato dal grafico della funzione, dall’asse x e dalle rette x a,x bbè dato da V fa2xdxIntegrali impropri Funzioni non limitateSe f : a,b R è continua e lim f ( x)= o Intervalli illimitatiIntegrali notevolix2xbabf ( x)dx = limbbabtat0 dx, allora f ( x)dx = lim f ( x)dxbf ( x)dx = limaf ( x)dx = limtx2babattf ( x)dxaf ( x)dxf ( x)dx 22 e dx = (integrale di Gauss) e dx = 202 (integrale di Eulero)2x 34x dx ==0ex 16 dx0ex 115sinx 3sinx3dx = dx = x x 420ln22cosx dxlnsinxdx ln2ln 12cosxcos 02xdx= sinxdx =2 (integrale di Fresnel)202 dx 2ln 20

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioFormule per l’integrazione numerica Formula di quadratura dei rettangoliSi suddivide l’intervallo a, bb ain n intervalli di ampiezza h mediante gli n 1puntinx0 a, x1 x0 h,x2 x0 2h, , xn a nh b cui corrispondono i valori della funzioney0 f a, y1 f a h,y2 f a 2h, , yn 1 f a n1h,yn f a nh f b.bb anL’area approssimata è per difetto f xdx y y y y per eccesso f xdx y y y y a0 1 2n1bb a 1 2n1n. L’errore èna21εnb a2n2 max f ' Formula dei trapeziSi suddivide l’intervallo a, bb ain n intervalli di ampiezza h mediante gli n 1puntinx0 a, x1 x0 h,x2 x0 2h, , xn a nh b cui corrispondono i valori della funzioney0 f a, y1 f a h,y2 f a 2h, , yn 1 f a n1h,yn f a nh f b.b a yn yb2a1 2n1 0 nL’area approssimata è f xdx y y y 3b aL’errore commesso è εn max f ''x12n2 a,b Formula di quadratura delle parabole o di Cavalieri-SimpsonSi suddivide l’intervallo a, bb ain 2 n intervalli di ampiezza h mediante i 2n 1punti2nx0 a, x1 x0 h,x2 x0 2h, , x2n a 2nh b cui corrispondono i valori della funzioney0 f a, y1 f a h,y2 f a 2h, , y2n 1 f a 2n1h,y2n f a 2nh f bL’area approssimata èL’errore commesso èbaZeri di una funzionefb a6nxdx y y 2y y y y y y y y ε0 2n2 4 62n24n5b a max2880n4 a,bfIVx Teorema di esistenza degli zeriSe una funzione f xè continua nell’intervallo chiuso a, be assume valori discordi agli estremidell’intervallo, cioè f af b 0, allora l’equazione f x 0 ha almeno una soluzione nell’intervalloa, b: a , b|f 0. 1° Teorema di unicità della soluzioneSe una funzione f xè continua nell’intervallo chiuso a, b, assume valori discordi agli estremidell’intervallo, cioè f af b 0, è derivabile in a, be f ' x 0 xa,b, allora l’equazionef x 0 ha un’unica soluzione in a, b: ! a , b|f 0. 2° Teorema di unicità della soluzioneSe una funzione f xè continua nell’intervallo chiuso a, b, assume valori discordi agli estremidell’intervallo, cioè f af b 0, è derivabile due volte in a, be f ''xha segno costante in a, b,allora l’equazione f x 0 ha un’unica soluzione in a, b: ! a , b|f 0. Metodo di bisezioneSi suddivide ad ogni passo l’intervallo a, bin due parti uguali e si determina in quale dei due sottointervalli13a,b5x2n1

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioè presente la soluzione, cioè valga sempre f af b 0. In questo modo si dimezza progressivamentel’intervallo contenente la soluzione .a0 b0Si pone a0 a, b0 b e si calcolano x0 , f x0.2f x 0 0 x è lo zero cercatoSe 0Se f x0 f a 0 a1 x0,b1 b0e si cerca la soluzione a1 , b1 x0,b0Se f x0 f a 0 a1 a0,b1 x0e si cerca la soluzione a1 , b1 a0, x0Si prosegue con questo procedimento applicandolo a a b ,, , 1, 1 a nb nconb0 a0b abn1 an1 b ab1 a1 , , bn an .n2 22 2Il procedimento viene arrestato se:- b a con R scelto a piacere o indicato espressamente nella richiestan n- f conx n R in modo che il valore f sia prossimo allo zero- entrambe le condizionian bnb aLa soluzione approssimata è xn con un errore assoluto non superiore an .22 Metodo delle tangenti o di Newton-RaphsonSia bf a fe supponiamo che f ''xabbia segno costante x a,b.Posto x0 a se f ''x0 f a 0 o x0 b se f ''x0 f b 0 , la radice richiesta è xncon f xn1xnxn1f ' xn1Il procedimento viene arrestato se:- x con R scelto a piacere o indicato espressamente nella richiestax na, l’intervallo all’interno del quale si trova l’unica radice per cui certamente vale b 0nx n1- f conx nx n R in modo che il valore - entrambe le condizioni Metodo delle secanti o delle corde o di LagrangeSia be supponiamo che f ''xabbia segno costante x a,b.Posto x b k a f ''x0 f a o x a k bf sia prossimo allo zeroa, l’intervallo all’interno del quale si trova l’unica radice per cui certamente vale f af b 0 con xx n0se 0n xk x fn1n1 n1f kf xn1x0se f ''x0 f b 0Il procedimento viene arrestato se:- x con R scelto a piacere o indicato espressamente nella richiestanx n1- f conx n- entrambe le condizioni R in modo che il valore f sia prossimo allo zerox n, la radice richiesta è22

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formulario5. CALCOLO COMBINATORIO Coefficiente binomialeDatin, k N , con 0 k n , si definisce coefficiente binomiale di n su knn! =k k!(n k)! Proprietà del coefficiente binomialeI coefficienti binomiali rispettano le seguenti proprietànnn n = = 1 n N = = n n N0n1n1n n n1 n n = n,k N,n k = n,k N,n kk n k k1k1knn1n1nnk nkn n,k N,n k ab = ( a b)k k k1k=0knnnIn particolare, dall'ultima proprietà, se a 1,b 1, discende che = 2 n Nk=0knnnn nmentre se a 1,b 1 1 0012nUn’altra proprietà scaturisce dalla Formula di convoluzione di Vandermonde valida in presenza di dueinsiemi A e B, disgiunti e di cardinalità, rispettivamente, n ed m. Se S è la loro unione Cn m , krappresenta ilnumero dei suoi sottoinsiemi di k elementi:n m n m n m n mk n m = n,m,k N,k min n,m k 0 k 1k1k 0 r0 r k r 2nnnnda cui, se n m k , discende la proprietà = n 01nSi può estendere la definizione di coefficiente binomiale anche ai numeri reali e precisamente si pone r r r1r k 1n1 =, r R,k N . Se n k si ha 0 e se n 0 1 k.kk!k k Coefficiente multinomialeDati m 1numeri naturali, n, k1,k2, , km N , tali che k1 k2 km = n , si definisce coefficiente222multinomialek1,k2n, ,km =k ! k12n!! km=!n!mi=1k !ie comunque si scelgano i numeri naturalin ,, k1,k2, km(purché k1 k2 km = n nk, k2,1, km N ), risulta Proprietà del coefficiente multinomialemFissato n N , e detto A N l'insieme di tutte le m-ple di naturali k , k , , k ) tali chek k km = n , risulta1 2n(1 2 mm k i nn k kkx 1 2mi( x 1x2 xm) =x1x2 xmn!( k , k , , km) Ank1k2km( k , k , , km) Ani1 k1 2 , , ,1 2i! Permutazioni sempliciDato un insieme X con n elementi, si chiama permutazione ogni ordinamento dell'insieme X . Dati n23

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formulariooggetti distinti, il numero di permutazioni Pnè P n= n! Permutazioni con ripetizioneDati n oggetti non tutti distinti fra di loro, un ordinamento di tali oggetti si chiama permutazione conripetizione. Supponiamo di poter suddividere gli n oggetti in h tipi diversi (ovviamente h n ). Siano niilnumero di elementi di tipo i , per ogni i = 1,2, , h, allora n = n1 n2nh. Indicando con P iln , n , , nnumero delle permutazioni con ripetizione, ovvero il numero di tutti i possibili ordinamenti degli n oggetti,n!risulta Pn, , ,=1n2 nhn ! n! n !12h Combinazioni sempliciDato un insieme X con cardinalità n (quindi contenente n elementi distinti), ogni sottoinsieme di X conk elementi ( 0 k n ) viene detto combinazione di n oggetti di classe k , si indica con Cn , k, rappresenta ilnumero di tutti possibili modi con cui si possono scegliere k elementi fra n oggetti dati, e risultann!C n , k= =k k!(n k)!n!ed inoltreCn, k= = Pk, nkk!(n k)! Combinazioni con ripetizioneDato un insieme X di cardinalità n , ossia dati n oggetti distinti, ogni raggruppamento di k Elementi diX , ammettendo anche ripetizioni di oggetti, viene detto combinazione con ripetizione di n oggetti di classek . Indicando con C ,il numero di tutte le possibili combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k ,n k n k 1risulta C n , k= k Disposizioni sempliciDati n oggetti, ogni ordinamento di k oggetti ( 0 k n)comunque scelti fra gli n si chiama disposizionedi n oggetti di classe k . Il numero di tutte le possibili disposizioni di n oggetti di classe k si indica conn!Dn , ke risulta D n , k= = n ( n 1) ( n k 1)( n k)! Disposizioni con ripetizioneDati n oggetti, ogni ordinamento di k oggetti in cui sono ammesse anche ripetizioni si chiama disposizionecon ripetizione di n oggetti di classe k . Indicando con D ,il numero di tutte le possibili disposizioni conripetizioni di n oggetti di classe k , risultaD = nn,kkn k12h24

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formulario6.GRAFICO DI UNA FUNZIONEDominioE’ l’insieme di definizione della funzione in esame, cioè il più grande sottoinsieme di R in cui la funzionenon perde di significato. Di seguito alcuni esempi di funzioni elementari:1f ( x)=dom ( f ) = x R : g(x) 0g(x)Simmetrief ( x)=ng(x)( n pari) dom ( f ) = x R : g(x) 0f ( x)= logg( x)dom( f ) = x R : g(x)> 0f ( x)= tan g(x)dom ( f ) = x R : g(x) k, k Z2dom( f ) = x R : g(x) k, k Zdom ( f ) = x R : 1 g(x)1dom ( f ) = x R : 1 g(x)1f ( x)= cotg( x) f ( x)= arcsin g(x) f ( x)= arccos g(x) Funzione pari f x f x Funzione dispari f x f xLa somma di due funzioni pari è una funzione pariLa somma di due funzioni dispari è una funzione dispariIl prodotto di due funzioni pari è una funzione pariIl prodotto di due funzioni dispari è una funzione pariIl prodotto di una funzione pari con una dispari è una funzione dispariIl rapporto di due funzioni pari è una funzione pariIl rapporto di due funzioni dispari è una funzione dispariIl rapporto di una funzione pari con una dispari è una funzione dispariPeriodicitàUna funzione è periodica di periodo T se f x f xTIntersezioni con l’asse delle ascisseLe intersezioni con l’asse delle ascisse si ricavano risolvendo il sistemaIntersezioni con l’asse delle ordinateLe intersezioni con l’asse delle ordinate si ricavano risolvendo il sistemaStudio del segnoLo studio del segno si ricava risolvendo la disequazione x 0dominio) di positività o negatività.Asintoti Asintoti verticaliQuando una funzione ammette limitela retta x = x0.Più precisamente, data una funzione f , severticale sinistro; selim f ( x)= xx0lim f ( x)= xx0(o )Asintoti orizzontaliy fy 0y fx 0xxf e ricavando gli intervalli (contenuti nel o in un punto x0, si dice che essa ha come asintoto verticale(o )lim f ( x)= xx0 , allora la retta x = x0è un asintoto(o ) , allora la retta x = x0è un asintoto verticale destro; se , allora la retta x = x0è un asintoto verticale (sia destro che sinistro).Quando una funzione ammette limite finito l per orizzontale la retta y = l .x si dice che essa ha come asintoto25

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioPiù precisamente, data una funzione f , sesinistro; selim f ( x)= l1 R , allora la retta y = l1è un asintoto orizzontalexlim f ( x)= l2 R , allora la retta y = l2è un asintoto orizzontale destro.x Asintoti obliquif ( x)Se lim = m esiste finito e non nullo, e se lim f( x) mx = q esiste finito, allora la funzione fxxxammette per x un asintoto obliquo destro di equazione y = mxq .f ( x)Se lim = m esiste finito e non nullo, e se lim f( x) mx = q esiste finito, allora la funzione fxxxammette per x un asintoto obliquo sinistro di equazione y = mxq .Derivata prima Punto angolosof ( x0 h) f ( x0)f ( x0 h) f ( x0)se lim l1 R l2 R lim, allora x h0hh00, f x 0è un punto angoloso.h Flesso a tangente verticalef ( x0 h) f ( x0)f ( x0 h) f ( x0)Se lim e lim esistono, sono infiniti, e sono uguali, allora x , ( ) h0hh00f x0èhun punto di flesso a tangente verticale e x = x0è una retta tangente al grafico di f che attraversa il graficostesso.f ( x0 h) f ( x0)f ( x0 h) f ( x0)se lim e lim il flesso verticale è ascendenteh0hh0hf ( x0 h) f ( x0)f ( x0 h) f ( x0)se lim e lim il flesso verticale è discendenteh0hh0h Cuspidef ( x0 h) f ( x0)f ( x0 h) f ( x0)Se lim e lim esistono, entrambi infiniti, ma diversi, allora x h0hh00, f x 0hè un punto di cuspide.In particolare:f ( x0 h) f ( x0)f ( x0 h) f ( x0)se lim e lim la cuspide è rivolta verso il bassoh0hh0hf ( x0 h) f ( x0)f ( x0 h) f ( x0)se lim e lim la cuspide è rivolta verso l’altoh0hh0hPunti criticiRisolvendo l'equazione f ' x = 0 , si trovano i punti critici.Un punto critico x 0, f x 0, in base al segno di f ' , può essere- un minimo relativo se la derivata prima è negativa in un intorno sinistro di x0e positiva in un intornodestro di x0- un massimo relativo se la derivata prima è positiva in un intorno sinistro di x0e negativa in un intornodestro di x0- un un punto di flesso a tangente orizzontale se la derivata prima assume lo stesso segno in un intornocompleto di x0Derivata secondaRisolvendo l'equazione f ''x = 0 si trovano gli eventuali punti di flesso a tangente obliqua. Se l’ascissa x0che annulla la derivata seconda annulla anche la derivata prima, bisogna valutare se il punto x 0, f x 0è diminimo relativo, massimo relativo o flesso a tangente orizzontale.Fatto questo può essere utile studiare il segno della derivata seconda; negli intervalli in cui risulta f ''x 0la funzione è convessa, invece negli intervalli in cui risulta f ''x 0 la funzione è concava.26

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioRelazioni tra derivateSia 0, f x 0Possono verificarsi i seguenti casi:x un punto critico, cioè tale per cui x = 0 f ''f '( x0) = 0 f '' f '' f '''f ''( x0) = 0 f '''f ''( x0) = 0 f '''f .'0x0 0 x0,f x0è puntodi minimo relativox0 0 x0,f x0è puntodi massimo relativox0 0 x0,f x0 puòessere un flesso,dipende da f ''' x0x0 0 x0,f x0è puntodi flesso ascendentex0 0 x0,f x0è puntodi flesso dicendentepari f x0 0 x0,f x0è puntodi minimopari f x0 0 x0,f x0x0 0 dispari f x0 0 x0,f x0è puntodi disparif x 0 x, f xè puntodi000relativoè puntodi massimo relativoflesso ascendenteflesso dicendente27

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formulario7. GEOMETRIA SOLIDANel seguito: V volume, Alarea laterale, Abarea di base, Atarea totale, 2 pbperimetro di base, Ccirconferenza, d diagonale, h altezza, l lato, r raggio, r i raggio della sfera inscritta, r c raggio della sferacircoscritta, a apotema (in alcuni casi può essere un semplice spigolo).Parallelepipedo rettangoloV = Ab c = abcA = 2pc= ablbA bA A A ab bc ac= 2 2 t b ld2 2 2= a b cA = A 2AA =lCubo3V = ltbA l= 4lb2At AlV2 c2 pb =Alc2A t= 6ld = l 3llri rc 322A Al6 43tl = V Prisma rettoIl prisma retto ha la superficie inferiore congruente e parallela alla superficiesuperiore, le facce laterali sono rettangoli.V = Ab hAl= 2pbhAt= Al 2A2 Albp = bhAlh = 2 pbVAPrisma obliquoV A hA = A 2Al t bb=b At= Al 2AbAA A2t lb=VA b=hhPiramide retta1V = Ab h 3Al2 pba=2At= A Abl3VA b=h2Al2 pb=a2Ala = 2 pb3Vh =AbTronco di piramide1V h(Ab Ab 3a= Ab Ab2Al2 p 2 p)A l(2p 2 p)a=2A = A A A=t l b b28

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioPoliedri regolari Tetraedro: formato da 4 triangoli equilateri3l 2V 12At l23r il 612lr c64lhlEsaedro: formato da 6 quadrati è il cuboltetraedrollV V3Ottaedro: formato da 8 triangoli equilateri23At22l3lr i66lr Dodecaedro: formato da 12 pentagoni regolaril 3 15 7 52At3l55 2 54Icosaedro: formato da 20 triangoli equilateri35l35V 12Cilindro2V = A h = rhbAt25l3riclr i2210 25 11 520lr c3 1 5l 3 3 5 l rc 25 5122A b= r= C h = 2rhA l44A = A 2 A = 2 r( h r)t l bVA b=hAlAlVC =2 r h =2h2 r r= A Vrl 2 hhConoA r 2 bh hC aV = =A l= 2= raA b= r3 322A = A A = rratbTronco di conolAla =rrA= la3Vh3V r h =21V = h 3r rr r2 21 1 2 2 a(r 1 r )A l=2A b= r r2122 22a h r1r2Sfera4V = r332AA = 4 r r 3 3V= 4 4 Calotta sferica e segmento sferico ad una base o sezione sferica1 2V = h (3r h)A = 2rh329h r 1r

h r h12www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioSettore sfericoA r r hl2V 3122r hZona sferica e segmento sferico a due basi 2= h h 2V r 21 22 3rA = 2rh,h r 1rFuso sferico e spicchio sferico3 rV = 270 2 rAl= 90 α è misurato in gradiA l è la parte disuperficie sfericarαCilindro circolare retto a sezione obliqua2 abV rAlr a b222abt A r a b r r2arbCorona cilindrica2 2V h r r1 2r 2A 2h r rl1 2 A 2r r h r rt1 2 1 2r 130

www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioObeliscoLe superfici laterali sono trapezi, le superfici superiore e inferiore sono rettangoli non simili.hV 2a cb 2c ad6chdbCuneoSuperficie di base rettangolare, le superfici laterali sono triangoli eactrapezi isosceli.bhV 2a c6habToro2 2V 2r rAt2 1 4rr212r 1r 2Prisma obliquo triangolarea b cV A b3abcA b31