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www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioPiù precisamente, data una funzione f , sesinistro; selim f ( x)= l1 R , allora la retta y = l1è un asintoto orizzontalexlim f ( x)= l2 R , allora la retta y = l2è un asintoto orizzontale destro.x Asintoti obliquif ( x)Se lim = m esiste finito e non nullo, e se lim f( x) mx = q esiste finito, allora la funzione fxxxammette per x un asintoto obliquo destro di equazione y = mxq .f ( x)Se lim = m esiste finito e non nullo, e se lim f( x) mx = q esiste finito, allora la funzione fxxxammette per x un asintoto obliquo sinistro di equazione y = mxq .Derivata prima Punto angolosof ( x0 h) f ( x0)f ( x0 h) f ( x0)se lim l1 R l2 R lim, allora x h0hh00, f x 0è un punto angoloso.h Flesso a tangente verticalef ( x0 h) f ( x0)f ( x0 h) f ( x0)Se lim e lim esistono, sono infiniti, e sono uguali, allora x , ( ) h0hh00f x0èhun punto di flesso a tangente verticale e x = x0è una retta tangente al grafico di f che attraversa il graficostesso.f ( x0 h) f ( x0)f ( x0 h) f ( x0)se lim e lim il flesso verticale è ascendenteh0hh0hf ( x0 h) f ( x0)f ( x0 h) f ( x0)se lim e lim il flesso verticale è discendenteh0hh0h Cuspidef ( x0 h) f ( x0)f ( x0 h) f ( x0)Se lim e lim esistono, entrambi infiniti, ma diversi, allora x h0hh00, f x 0hè un punto di cuspide.In particolare:f ( x0 h) f ( x0)f ( x0 h) f ( x0)se lim e lim la cuspide è rivolta verso il bassoh0hh0hf ( x0 h) f ( x0)f ( x0 h) f ( x0)se lim e lim la cuspide è rivolta verso l’altoh0hh0hPunti criticiRisolvendo l'equazione f ' x = 0 , si trovano i punti critici.Un punto critico x 0, f x 0, in base al segno di f ' , può essere- un minimo relativo se la derivata prima è negativa in un intorno sinistro di x0e positiva in un intornodestro di x0- un massimo relativo se la derivata prima è positiva in un intorno sinistro di x0e negativa in un intornodestro di x0- un un punto di flesso a tangente orizzontale se la derivata prima assume lo stesso segno in un intornocompleto di x0Derivata secondaRisolvendo l'equazione f ''x = 0 si trovano gli eventuali punti di flesso a tangente obliqua. Se l’ascissa x0che annulla la derivata seconda annulla anche la derivata prima, bisogna valutare se il punto x 0, f x 0è diminimo relativo, massimo relativo o flesso a tangente orizzontale.Fatto questo può essere utile studiare il segno della derivata seconda; negli intervalli in cui risulta f ''x 0la funzione è convessa, invece negli intervalli in cui risulta f ''x 0 la funzione è concava.26
www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formularioRelazioni tra derivateSia 0, f x 0Possono verificarsi i seguenti casi:x un punto critico, cioè tale per cui x = 0 f ''f '( x0) = 0 f '' f '' f '''f ''( x0) = 0 f '''f ''( x0) = 0 f '''f .'0x0 0 x0,f x0è puntodi minimo relativox0 0 x0,f x0è puntodi massimo relativox0 0 x0,f x0 puòessere un flesso,dipende da f ''' x0x0 0 x0,f x0è puntodi flesso ascendentex0 0 x0,f x0è puntodi flesso dicendentepari f x0 0 x0,f x0è puntodi minimopari f x0 0 x0,f x0x0 0 dispari f x0 0 x0,f x0è puntodi disparif x 0 x, f xè puntodi000relativoè puntodi massimo relativoflesso ascendenteflesso dicendente27
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