量子无穷正则语言的代数性质 - 陕西师范大学学报

10 陕 西 师 范 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 第 40 卷了 不 同 于 经 典 有 穷 自 动 机 理 论 , 量 子 逻 辑 框 架 下 有穷 自 动 机 的 许 多 重 要 定 理 一 般 不 成 立 , 而 当 添 加 正交 模 格 子 集 的 交 换 子 条 件 后 , 这 些 定 理 才 能 成 立 , 即对 应 定 理 的 完 全 成 立 依 赖 于 正 交 模 格 的 分 配 律 , 从而 结 论 又 还 原 到 Boolean 逻 辑 或 经 典 逻 辑 情 形 . 本文 主 要 将 Müler 自 动 机 理 以 及 无 穷 正 则 语 言 理[59]论 推 广 到 量 子 逻 辑 框 架 下 , 从 而 丰 富 、 发 展 和 完善 量 子 环 境 下 的 计 算 理 论 .1 预 备 知 识量 子 逻 辑 是 指 真 值 论 域 为 完 备 正 交 模 格 犾 的 逻辑 , 亦 称 为 正 交 模 格 值 逻 辑 [34,1012] . 完 备 的 正 交 模格 是 七 元 组 犾 = ( 犾 ,≤,∧,∨,⊥,0,1), 其 中 ( 犾 ,[13]≤,∧,∨,0,1) 是 完 备 格 ;0 和 1 分 别 是 最 小 元与 最 大 元 ; ≤ 是 偏 序 ; 对 犡 犾 , ∧ 犡 与 ∨ 犡 分 别表 示 犡 的 最 大 下 界 与 最 小 上 界 ; 一 元 运 算 ⊥ 是 犾 上的 正 交 补 , 满 足 : 对 任 意 犪 、 犫 ∈ 犾 , 犪 ∧ 犪 ⊥ = 0, 犪 ∨犪 ⊥ ⊥=1; 犪 ⊥ = 犪 ; 犪 ≤ 犫 蕴 涵 犫 ⊥ ≤ 犪 ⊥. 同 时 犾 满 足 正交 模 律 : 对 犪 、 犫 ∈ 犾 , 犪 ≤ 犫 蕴 涵 犪 ∨ ( 犪 ⊥ ∧ 犫 )= 犫 . 在犾 上 定 义 蕴 含 算 子 →: 犾 × 犾 → 犾 满 足 : 对 犪 、 犫 ∈ 犾 , 犪 ≤犫 当 且 仅 当 犪 → 犫 =1. 本 文 假 设 → 为 Sasaki 蕴 涵 ,即 犪 → 犫 = 犪 ⊥ ∨ ( 犪 ∧ 犫 ). 双 蕴 涵 定 义 为 : 对 任 意犪 、 犫 ∈ 犾 , 犪 犫 d ( 犪 → 犫 )∧ ( 犫 → 犪 ). 正 交 模 格 值 逻辑 的 语 法 与 经 典 的 一 阶 逻 辑 类 似 :┐、∨、→ 是 3 个原 始 连 接 词 , 是 原 始 量 词 , 而 ∧、 以 及 由 ┐、∨ 、 → 和 定 义 . 另 外 需 要 使 用 集 合 论 公 式 ∈ 、 、≡, 其 中 ∈ 是 二 元 ( 原 始 ) 谓 词 符 号 , 类 似 可 用 ∈ 来定 义 和 ≡. 语 义 方 面 , 将 ┐、 ∨ 和 → 分 别 解 释 为犾 中 的 运 算 ⊥、∨ 和 →; 而 解 释 为 犾 中 的 最 小 上界 . 集 合 论 公 式 狓 ∈ 犃 的 真 值 是 [ 狓 ∈ 犃 ]= 犃 ( 狓 );公 式 φ 是 有 效 的 当 且 仅 当 [ φ ]=1, 并 记 为 狘 =犾φ. 对 犾的 有 限 子 集 犡 , 定 义 犡 的 交 换 子 (commutator)γ( 犡 )犳 ( 犪如 下 :γ( )犡 )=∨ {∧ 犪 : 犳 : 犡 → {1,-1} 为 映犪 ∈ 犡射 }, 其 中 犪1 = 犪 , 犪-1 = 犪 ⊥.定 义 集 合 Σ ω = {α∶α∶ω→Σ}, 其 中 α 是 从 自 然数 集 ω = {0,1,2,…} 到 Σ 的 映 射 , 记 为α(0)α(1)α(2)…α( 狀 )α( 狀 +1)…, 进 而 称 Σ ω 中 的 元素 α 为 无 穷 ( 长 度 ) 字 符 串 或 无 穷 输 入 串 或 无 穷[59]词 , 一 般 用 字 母 α、 β 、γ、… 来 表 示 .定 义 1 量 子 Müler 自 动 机 ( 简 记 为 LVMA)是 五 元 组 犃 ω = ( 犙 ,Σ,δ, 犐 , 犉 ), 其 中 犙 、Σ 都 是 非 空 有限 集 , 分 别 表 示 有 限 状 态 集 和 有 限 输 入 符 号 集 ; 犐 : 犙→ 犾 , 表 示 初 始 状 态 且 满 足 存 在 唯 一 的 狇 ∈ 犙 使 得犙犐 ( 狇 )>0; 犉 :2 → 犾 , 表 示 终 状 态 ;δ: 犙 ×Σ× 犙 → 犾 表示 确 定 型 量 子 状 态 转 移 函 数 , 即 满 足 : 对 任 意 狇 ∈犙 ,σ∈Σ 存 在 唯 一 的 狆 ∈ 犙 , 使 得 δ( 狇 ,σ, 狆 )>0.如 下 命 题 :“ 狇 为 初 始 状 态 ” 记 为 “ 狇 ∈ 犐 ”;“ 犉 为 终 状 态 ” 记 为 “ 犉 ∈ 犉 ”;“ 输 入 σ 使 状 态 狇 转 移 到 狆 ” 记 为 “( 狇 ,σ, 狆 )∈δ”.这 些 命 题 的 真 值 分 别 为 犐 ( 狇 )、 犉 ( 犉 )、δ( 狇 ,σ, 狆 ).设 犃ω是 一 个 LVMA, 令 犜 ( 犙 ,Σ)= ( 犙 ×Σ×犙 ) ω , 对 于 α =α(0)α(1)α(2)…α( 狀 )α( 狀 +1)… ∈Σ ω , 定 义 犃ω在 输 入 α 下 唯 一 的 一 条 路 径 为ρα =ρ ( 0) ρ (1) ρ (2)… ∈ 犜 ( 犙 ,Σ), 其 中 ρ ( 犻 )= ( 狇 犻 ,α( 犻 ),狇 犻 +1)∈δ 满 足 对 任 意 狇 犻 ∈ 犙 ,α( 犻 )∈Σ, 存 在 唯 一 的狇 犻 +1 ∈ 犙 , 使 得 δ( 狇 犻 ,α( 犻 ), 狇 犻 +1)>0, 犻 ∈ω. 在 不 引 起混 淆 的 情 况 下 , 路 径 有 时 也 简 记 为ρα ρ ; 路 径 的 全 体记 为 犚 . 另 外 引 入 以 下 记 号 , 犫 ( ρ )= 狇 0, 犐 ( 狇 0) > 0 ;Ib( ρ )=α; 用 ω 狀 表 示 量 词 “ 存 在 无 穷 多 个 狀 ”; 用! 表 示 量 词 “ 存 在 唯 一 的 ”; 用 In( ρ ) 表 示 路 径 ρ 上出 现 无 穷 多 次 的 状 态 之 集 , 即 In( ρ )= { 狇 ∈ 犙 : ω 狀∈ω.ρ 狀 = ( 狇 ,α( 狀 ), 狇 狀 +1)}; 用 Λ ω (Σ) 记 输 入 集 Σ 上全 体 LVMA 之 集 [12] .定 义 2 设 犃 ω ∈Λ ω (Σ), 定 义 犜 ( 犙 ,Σ) 上 量 子( 一 元 ) 路 径 谓 词 path ω犃 ∈ 犾 ( 犜 ( 犙 ,Σ))( 即 从 犜 ( 犙 ,Σ)到 犾 的 映 射 ) 为 : 对 任 意 ρ=ρ 0 ρ 1 ρ 2 … ∈ 犜 ( 犙 ,Σ),path 犃 ω ( ρ ) d ∧ [( 狇 犻 ,α( 犻 ), 狇 犻 +1)∈δ].犻 ≥0即 命 题 path 犃 ω ( ρ ) 的 真 值 定 义 为[path ω犃( ρ )] d ∧犻 ≥0 δ ( 狇 犻 ,α( 犻 ), 狇 犻 +1).定 义 3 设 犃 ω ∈Λ ω (Σ), 定 义 Σ ω 上 量 子 ( 一 元 )可 识 别 谓 词 rec ω犃 ∈ 犾 (Σ ω )( 即 从 Σ ω 到 犾 的 映 射 ) 为 : 对输 入 串 α=α(0)α(1)α(2)… ∈Σω,rec ω犃(α) d ( 犉∈ 犉 )(! ρ ∈ 犚 ).( 犫 ( ρ )∈ 犐 ∧ Ib( ρ )= α ∧path 犃 ω ( ρ ) ∧ 犉 =In( ρ )).即 命 题 rec 犃 ω (α) 的 真 值 定 义 为 :[rec 犃 ω (α)]=∨ { 犐 ( 犫 ( ρ )) ∧ [path 犃 ω ( ρ )] ∧ 犉 ( 犉 ): 存 在 唯 一 的 ρ 使得 Ib( ρ )=α 且 In( ρ )= 犉 ∈ 犉 }.此 时 , 称 rec 犃 ωω为 量 子 Müler 自 动 机 犃 识 别 ( 接受 ) 的 Σ 上 的 量 子 无 穷 正 则 语 言 . 用 犾 (Σ ω ) 表 示 Σ ω 上的 所 有 量 子 无 穷 语 言 之 集 . 若 存 在 量 子 Müler 自 动ω机 犃 使 得 犃 =rec 犃 ω , 则 称 犃 是 可 识 别 的 . 记 Σ 上 的量 子 无 穷 正 则 语 言 的 全 体 为 LMR(Σ).当 两 个 LVMA 犃 ω ω= ( 犙 ,Σ,δ, 犐 , 犉 ) 和 犃 1=( 犙 1,Σ,δ1, 犐 1, 犉 1) 接 受 相 同 的 量 子 无 穷 正 则 语 言时 , 即 对 任 意 α∈Σ ω ,[rec 犃 ω (α)]= [rec 犃 ω ( ωα)], 称 犃1ω和 犃 1相 互 等 价 , 记 为 犃 ω ω≡ 犃 1.注 1 由 定 义 2 和 定 义 3 以 及 In( ρ ) 的 定 义 可知 , 对 任 意 α =α(0)α(1)α(2)… ∈ Σ ω ,[rec 犃 ω (α)] d ∨ { 犐 ( 狇 0) ∧∧犻 ≥0 δ ( 狇 犻 ,α( 犻 ), 狇 犻 +1) ∧ 犉 ( 犉 ): 对 任 意 犻