Serenus von Antissa über den Schnitt des ... - Wilbourhall.org

— 17Pftrameler verhalte, wie das Quadrat des Dnrcluiiessers der Schnitte zum Quadrate der Ordinate, welcheAbschnitte des Darchmessers bildet, so ist auch im Cylinderschnitt GH za HX, wie GQxQH zadem Quadrate einer geraden Linie, welche gleich UQ und gegen HG unter demselben Winkel gezogenIst. Eine solche gerade aber ist keine andere als UQ selbst, also liegt UQ auch hn Cjlinderschnittand mithin liegt der in dem Kegelmantel befindliche Punkt U auch in dem Mantel des Cylinders. Inähnlicher Art wird der Beweis geführt, wenn Irgend andere Ordinalen ähnlich gezogen sind; mithinliegt die Linie HRG in den Oberflächen beider Körper und HRG ist ein und derselbe Schnitt inbeiden. Weil ferner der Winkel CAM=.AGH entweder grosser oder kleiner als der Winkel B genommenist, so ist der Schnitt kein Wechselschnitt, also HRG kein Kreis, mithin eine Ellipse, undder Schnitt des vorgelegten Kegels und Cylinders ist einerlei Ellipse, was zu beweisen war.Satz 20.Wenn ein Kegel und eine Ellipse in ihm gegeben ist, einen Cylinder zu finden, welcher voneben dieser Ellipsedes Kegels geschnitten wird.Es sei ein Kegel gegeben und ABC das Aiendreieck desselben. In ihm sei eine Ellipse ge- F. 21.geben, deren Durchmesser FE D bis verlängert ist, und es sei AM^FD gezogen, welche BD inM trifft,auch sei MG die mittlere Proportionale zwischen BM^ MC. Man ziehe AG^ und durch F, Edie geraden FH, KEL parallel AG und vollende das Parallelogramm HL. Denken wir uns danneinen Cylinder, dessen Grundfläche der Kreis um den Durchmesser HK und dessen AxenparallelogrammHL ist; so wird sich auch in diesem Cylinder der Schnitt befinden, dessen Durchmesser FE ist. Eswird dann eben so, wie in dem vorigen Lehrsatze bewiesen werden, dass auch der zweite DurchmesserÜbereinstimme und eben so alle Ordinaten des Durchmessers, mithin ist ein Cylinder geAinden, welchervon der gegebenen Ellipse des gegebenen Kegels geschnitten wird; und das sollte geschehen.Satz2LWenn ein Cylinder gegeben ist, und eine Ellipse in ihm; einen Kegel zu finden, der von derselbenEllipsegeschnitten wird.Es sei eine gerade AB besonders gezeichnet, auf derselben sei D ein willkürlicher Punkt, und F. 22.man mache AB : BD=BD: BC und AB BC= : AD DE:und errichte aus den Punkten E^ D, C unter einem willkürlichen Winkel mit AB die geradenBF^DG^CH. Durch C führe man eine gerade CK, welche EF, DG schneidet, ziehe AK,welche DG in G treffe und ziehe GBi").Nachdem diess an besonderer Stelle vorbereitet ist, so sei ein Cylinder gegebenmit dem AxenparallelogrammLM, und der Durchmesser der in ihm gegebenen Ellipse sei NL Die Grundlinie LIdes Parallelogramms werde eben sogeschnitten, wie EC^ alsoa) Es ist also GBz^KC, denn AD:DE=AG :KG, also auch AB :BC=AG-.KG, aUo etc. (E. VL 2.)3