Serenus von Antissa über den Schnitt des ... - Wilbourhall.org

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F. 31. Denn yr^nü wir dttf 4tit Zdchnasg de« OyltBikrrs u M elliriditeo, dus ;EC^ (oder CJ^) : CA^tÔ^:AmcA^.îür:.; .«.u^förfer'^-'''^ '''•^'CtÄ»),'''^'•.;/SO wird man haben: £C^ (oder CF^) zu C^^, d.-^^lL wie da& Quadrat des.Durcbiaesaers der Ib^licheiiEUipseo, die aus einerlei Seite gezogen sind, zum Quadrate des zweiten coujugirten Durchmessers,sodas Quadrat CA^ zu AH^ (oder CK^)d. h. das Quadrat des zweiten Durchmessers der aus entgegengesetztenSeiten gezogeneu ähnlichen Ellipsen zum Quadrate des conjugirten Durchmessers. Wie alsoin der einen Verbindung der Durchmesser zum zweiten Durchmesser,Verbindung der zweite Durchmesser zum Durchmesser («).F. 32. Im Kegel aber, wenn man wieder macht, dass OA: AK=:AP:PS^ so folgtAK:KG=PS:SA und AK^: eKxAKz=::8AxFÜ: SA^so verhält sich in der zweitenoder AK- zu GKxAK (d. h. zu BKxKC) wie das Quadrat eines Durchmessers der fthnllcheaEllipsen von einer Seite, also wie LN^^ oder LM^ zum Quadrate ihres zweiten Durchmessers. Wie siehaber verhalt PSxSA (d. h. CSxSB) zu S^*, so verhält sich das Quadrat des zweiten Duylimessersder aus entgegengesetzten Seiten gebildeten ähnlichen Ellipsen zum Quadrate des conjugirtenDurchmessers BJJ oder CQ. (S. 25.) So wie also in der einen Verbindung der Durchmesser zumzweiten Durchmesser sich verhält, so in der anderen Verbindung der zweite Durchmesser zunDurchmesser.-Hieraus wird einleuchtend, dass es in jedem schiefen Cylinder und Kegel zwei Verbindungenvon ähnlichen Ellipsen giebt, deren Durchmesser einander umgekehrt entsprechen, und dass nebendiesen vier eine andere ähnliche Verbindung nicht besteht, mit Ausnahme der jenen parallelen; denndie parallelen Schnitte bilden allemal ähnliche Ellipsen, wenn sie Ellipsen bilden; auch ist beim1?. 29. Cylinder klar, dass eine Führungder Ebene durch CG wechsdschneidend ist und einen Kreis alsSchnitt bildet.F. 28. Beim Kegel aber, wenn durch A eine berllhrende geht, etwa AX^ so wird, weil AXh=.BXxXCist, die Führung der Ebene durch gerade Linien, welche in dem Dreieck parallel AX gezogen sind,Kreise bilden, denn auch diese Fttfarung ist wecfaselschneidend ,wie dem Aufmerksamen einleuchtendsein wird iß). Eben so dass zu der gegebenen Ellipse im schiefen Cylinder und Kegel noch drei andereätmlicbe zu finden möglich ist, die eine der gegebenen verbunden,die beiden anderen unter sich verbundenund den vorigen ähnlich aber mit Entgegensetzung der Durchmesser. Es darf jedoch dergegebene Schnitt nicht ein Wechselschnitt sein, denn zu einem solchen giebt es keinen ähnlichenausser den parallelen ;auch darf der Durchmesser des Schnitts nicht parallel sein der durch A und Eu) Hierfür wäre kürzer und deshalb besser gesagtEC (oder CF): CA ==: CA :AH(oder CK) ,so ist sofort in der einen Verbindung der Durchmesser zum zweiten Durchmesser, wie in der zweiten Yerbindongder zweite Durchmesser zum Durchmesser.ß) B=CAX^:zrWA (E. HI. 32.), also auch AVW=BCA und ä,ArWi/\BCA und mithin VW wech«el-Bchneidend (Apoll. I.5.).
getogenea genyden in ^ Z^tamag.jdes Kegels; dean auch dieser ist einzek, weH die durch Bdesselben fUk,s(h dass «t>. keiaenpvtll«! mU J^D gesogene gerade den Kreis berührt and ausseiliilbdta p«akte iß >tints|Mechfettdeii Pttokti giebt, wie / und O, »der wie J^ und 6»;> ^.-c v. •"l^k) :• ^Das: G«tigie luig genügen ttber die mir von Mehreren Torgelegle Aufgabe, und es dürfte nanZdi sein^ su deaL ttberzMgebeay wozu ich mich kürzlich anheischif gemai^t habe. Die mir nicht ungelegeneVeranlassung «a der folgenden Untersuchung ist nämlich dieser Der Georaeter Pitho hat inseiner Abhandlung zur Erklärung der Parallelen, nicht befriedigt durch das, was Euclides sagt, dieselbennoch aiêmessener durch ein Beispiel deutlich machen wollen. Er sagt nämlich, parallele geradeLinien seien solche, wie wir an den Wänden oder auf deai Fussboden die Schatten der Säalen entwederdurch eine gegenüber brennende Fackel oder durch eine Leuchte berrorbringen sehen. Mag dasnun auch bei Jedermann grosses Gelächter erregen, so ist es mir doch nicht lächerlich aus Achtungvor dem Verfasser, der mein Freund ist;aber es ist zu untersuchen, wie sich das mathematisch verhalte,und die eben vorgenommene Untersuchung ist damit verwandt, denn gerade dadurch kann dieserVorlage entsprochen werden..-ri. v\, v.- -d^':, .'A ^ ='f:Satz8L .>' y-.:' -.-t,:.Gerade Linien, we^he aus demselben Punkte ausgehend eine cylindrische Oberfläche berühren,haben sämmtlich die Berührungspunkte in den Seiten eines einzigen Parallelogramms.Es sei ein Cyllnder, dessen Grundflächen die Kreise A, B, und dessen Axe die gerade AB. F. 33.Man nehme einen willkürlichen Punkt C ausserhalb, und ziehe aus C die geraden BerUbrungslinien desCyllndermantels nach derselben Seite zu den Punkten />, £', ich behaupte, dass die Berührungspunktewie -ß, D In einerlei geraden Linie liegen.Man fälle aus C auf AB die senkrechte CF und führe durch CF eine der Ebene des KreisesA parallele Ebene, so wird sie in dem Cylinder den Kreis um F als Schnitt bilden, so dass ein Cyllnderauf ihm steht, dessen Grundflächen die Kreise B, -F, dessen Axe aber die gerade BF' ist; auchlege man durch CF und die Axe eine Ebene, welche in dem Cylinder das Akenparallelogramm GHbildet. Dann errichte man senkrecht auf F'C die gerade CK in der Ebene des Kreises F, und durchCK und jede der beiden CD^ CE führe man Ebenen ,welche den Cylinder schneiden ,und es sollendurch den Schnitt in dem Cyllndermantel die Linien LDM, NEI^ in der Ebene des Parallelogrammsaber die geraden LMC, NIC entstehen. Die Durchmesser der Schnitte sind demnach die geradenLM, JVJ. Man ziehe nun an die Durchmesser LM, NT die Ordinaten DO, EP und verlängere sienach der anderen Seite des Mantels bis zu den Punkten ü, S. Weil also die gerade CD die LinieLDMR im Punkte D berührt, ein solcher Cylinderschnitt aber als Ellipse und nicht als Kreis nachgewiesen,auch DO als Ordinate gezogen ist, so folgtLC : CM z= LO : OM (ApoUon. I, 36)und eben so NC : CI =: NP : PI.Nun ist aber NG^zHM, also LC:CM=NC:CI und mithin LO :OMz=NP:OI.4
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