Serenus von Antissa über den Schnitt des ... - Wilbourhall.org

— 23 —zum coDjugjrten Durchmesser, wie der Durchmesser LN zu seinem conjugirten Durchmesser, und mithinsind LMy LN Durchmesser ähnlicher Ellipsen,was zu beweisen war.Wenn wir aher nun andere Parallelen zu FG ziehen, z. B. 10 und die Verbindungslinien Tonl'''iuid nach A bis zum Znsammentrefl^n mit BH Terltlngem und Parallelen mit ihnen in dem Dreieckeziehen, so werden wieder zwei einander ähnliche Ellipsen gebildet werden, und so ins Unendliche.Satz 28.Einen gegebenen schiefen Cylinder oder Kegel kann man aus entgegengesetzten Seiten aufunendlich verschiedene Weise durch zwei Ebenen so schneiden, dass ähnliche Ellipsen entstehen.Es sei zpvOrderst vom Cylinder zu zeigen. Dazu diene dieselbe Zeichnung wie zuvor, und es F. 29.sei AD=DG^ also AC=.CG. Da nun eine von A nach CB gezogene gerade grösser ist, als jededer beiden AC^ CG und als alle geraden, welche von dem Punkte C ausgehend zwischen Gf, A,'fU^(«); so ist einleuchtend, wenn man von den entgegengesetzten Seiten zwei gerade einander gleicheLinien zieht, dass dann die von C ausgehende über G hinaus fallen wird. Man ziehe daher von denentgegengesetzten Seiten AH=z CK und wenn man durch sie Ebenen, welche Ellipsen bilden, geführthat, so wird sich das Quadrat des Ellipsendurchmessers HA^ zu AC^, d. h. zum Quadrate seines conjugirtenDurchmessers verhalten, vde das Quadrat des Ellipsendurchmessers KC zu AC^^Quadrate seines conjugirten Durchmessers, mithin sind KCy AH Durchmesser ähnlicher Ellipsen.d. h. zumSatz 29.Nun sei wieder die Zeichnung des Kegels gegeben, und nachdem BC nach beiden Seiten ver- F. 30.längert ist, so sollen von beiden Seiten Ebenen geführt werden, welche ähnliche Ellipsen bilden.Man ziehe in dem Kreise irgend eine gerade PR^BC^ verbinde -4F, AR und verlängere siebis S, T, so ist AS : SP=AT: TRund AS^:ASxSP=zAT^:ATxTR, d.h. AS^ :CSxSB=AT^ BTxTC.Wenn wir demnach gerade mit SA^ AT parallele Linien in dem Dreiecke ziehen, wie BU, CQ, unddurch sie Ebenen legen, welche Ellipsen bilden, so werden BU, CQ nach dem mehrmals GesagtenDurchmesser ähnlicher Ellipsen sein. (S. 27.)Satz 30.Es erhellt hieraus, dass es zu einer Verbindung ähnlicher Ellipsen von einer Seite noch eineähnliche Verbindung ähnlicher Ellipsen von der entgegengesetzten Seite giebt mit Durchmessern, dieeinander inumgekehrter Ordnung entsprechen.a) Weil der Winkel A spitz ist nach der Annahme in S. 26., mithin ACB stampf.