Serenus von Antissa über den Schnitt des ... - Wilbourhall.org

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— ÄEs ward aber eben gezeigt, dass auch das Verhältniss MD :zusammengesetzt sei; folglich ist ^ n:-..'^DKaus denselben VerhSItnissennnÄ eben SO wird der BieW«!» gefOhrt werden^ wefintfäch ändert Ig^rtWe tlnfcB ans g^Ä)f eii llfiiîndem alle durch AH auf dieselbe Weise geschnitten werden. î'-F. 36. Wenn dagegen die aas D gezogenen geraden proportlonlrt geschaltem wet«Bh^'«o diW J^ftfi'^cFD:DE=FG:GE und MD:DK=ML:tK,''', vi'. ••..,, ,._,.SO wird die gerade, welche inaerbalb des Dreiecks, die Abschnitte, wie JÊ, MK» proportionirt sehne;!«det, durch die Spitze des Dreiecks gehen. ,..,:,, -.
— 29 —LM^ NI Durchmesser der Schnitte LDM^ NEI. Man lege deshalb an die Durchmesser LM^ NIdie Ordlnaten DO, EP und verlängere sie nach der anderen Seite des Mantels zu den Punkten R und8. Da nun die gerade CD die Linie LDM in dem Punkte D berührt, und DO als Ordinate gezogenso ist LC: CM=LO OM,Ist,:und eben so NC: ClzzzNP.PJ (Apollon. I, 36.)Die Verbindungslinie OP wird daher in ihrer Verlängerung durch die Spitze gehen, nach dem vorigenLehrsatze. Man ziehe daher OPB, und weil jede der beiden geraden ES, DK parallel CK ist, sosind auch DR, ES unter sich parallel und liegen in einerlei Ebene. Es wird also eine durch BPOund durch ES, DR gelegte Ebene als Schnitt ein Dreieck in dem Kegelmantel bilden, und mithinwerden die Punkte E, D, die im Kegelmantel liegen, auch in einer Seite des Dreiecks sich befinden,was das Dreieck BGH in der geraden BPO schneidet. Auf ähnliche Art wird der Beweis von allenberührenden und auch von denen geführt, deren Berührungspunkte R, S sind. Es berühren daher alleTon C ausgehenden Berührungslinien des Kegelmantels denselben in den Seiten eines einzigen Dreiecks.Satz 35.Nachdem dieses bewiesen, so sei ABC ein Dreieck und parallel seiner Grundlinie seien die F. 38.geraden DE, FG gezogen; auch sei ein Punkt H, nicht in der Ebene des Dreiecks, angenommen unddie Linien HD, HF, HG, HE gezogen, welche in ihrer Verlängerung in den Punkten K, L, M, JNêine Ebene treffen, welche parallel der Ebene ABC ist. Demnach wird eine durch ED, KH geführteEbene auch die Ebene KLMN schneiden und in derselben den Durchschnitt KNd^ DE hervorbringen.Eben so wird auch die durch FG, LH geführte Ebene in ihrer Erweiterung FGd^LM machen.Weil nun die Ebene KHL von den parallelen Ebenen ABC, KLMN geschnitten wird, so sind dieDurchschnittslinien KL, DF einander parallel. Eben so ist MN-^GE, mithin werden die verlängertenKL, NM einander in / treffen. Da nun die beiden KI, IN den beiden DA, AE parallel sind,so ist der Winkel bei I dem Winkel bei A gleich. Da ferner die beiden IK, KN den beiden AD,DE parallel sind, so wird IKN=s=ADE und mithin AlKN*^/ÂBC sein.Nehmen wir nun an, der Punkt H sei ein leuchtender,das Dreieck ABC aber den Stralengegenüber gestellt, sei es für sich allein oder in einem Kegel, so werden die von IT ausgehendenStralen, wenn sie über das Dreieck ABC hinausfallen, das Schattendreieck KNI
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