1 Laboratorinis darbas

Aritmetiniai skaičiavimai
1 Laboratorinis darbas
MATLAB (Apžvalga)
>> 1/5+2^8*1/(sqrt(125)+15)
ans =
9.9783
>> x=sin(10)
x =
-0.5440
>> z=pi/6;
>> z
z =
0.5236
Norint pakeisti išvedamo rezultato naidojama komanda format ir žemiau nurodyti raktiniai žodžiai.
Žemiau pateiktoje lentelėje parodyta, kaip įvairiais formatais išvedama išraiška 1/3.
short Trumpas skaičius 0.3333
long Ilgas skaičius 0.33333333333333
short e Trumpas normalizuotas skaičius su dešimtainiu daugikliu 3.3333e-001
long e Ilgas normalizuotas skaičius su dešimtainiu daugikliu 3.333333333333333e-001
bank Valiutos formatas 0.33
rational Racionalioji trupmena 1/3
Be ans, skirto paskutiniam apskaičiuotam rezultatui įvardinti, galima paminėti tokius specialiuosius
kintamuosius: i (arba j) – , pi – skaičius , inf – begalybė, NaN – neapibrėžtumas 0/0 arba /, realmin
– mažiausias realusis skaičius (2.2251e-308), realmax – didžiausias realusis skaičius
(1.7977e+308). Eilutės dalis, prasidedanti %, – komentarai.
Dažniausiai naudojamos šios matematinės funkcijos:
sin – sinusas,
asin – arksinusas,
cos – kosinusas,
acos – arkkosinusas,
tan – tangentas,
atan – arktangentas,
cot – kotangentas,
exp – eksponentinė funkcija,
log – natūrinis logaritmas,
log10 – dešimtainis logaritmas,
log2 – dvejetainis logaritmas,
sqrt – kvadratinė šaknis,
abs – modulis (absoliutinis dydis),
pow2(x) – 2 x .
Vektoriai ir matricos
Komanda a=[-1 4 7 0] apibrėžia vektorių eilutę, o b=[0; -5; 6] – vektorių stulpelį.
Vektorių eilutę galima sukurti naudojant operaciją ,, : " (dvitaškis), kurios bendra forma tokia:
Pradinė_reikšmė: žingsnis : galutinė_reikšmė
>> v=2:4:20
v =
2 6 10 14 18
>> v1=1:10
v1 =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dirbant su masyvais galima naudoti standartines funkcijas. Dažniausiai naudojamos:
length(x) – randa masyvo x elementų skaičių;
max(x) – randa didžiausią masyvo x elemento reikšmę;
min(x) – randa mažiausią masyvo x elemento reikšmę;
[k, v]=max(x) – randa maksimalaus masyvo x elemento reikšmę k bei jo vietą (eilės numerį) v;
mean(x) – apskaičiuoja masyvo vidurkį;
sort(x) – rikiuoja didėjimo tvarka;
sum(x) – apskaičiuoja sumą;
prod(x) – apskaičiuoja sandaugą.
>> a=[1 -10 15 4 0 25];
>> [k,v]=max(a);
>> k,v
k =
25
v =
6
Dirbant su matricomis, galima atlikti veiksmus panariui su jų elementais (kaip ir su masyvais). Taip
pat galima naudoti šias funkcijas:
size(x) – randa matricos x matmenis;
[n, m]=size(x) – randa atskirai matricos X eilučių n bei stulpelių m kiekius;
eye(n, m), eye(n) – suformuoja vienetinę matricą;
zeros(n, m) – suformuoja nulių matricą;
ones(n, m) – suformuoja vienetų matricą;
diag(x) – jei x yra masyvas, sudaro kvadratinę matricą, kurios pagrindinėje įstriţainėje x elementai;
jei x – matrica, suformuoja vektorių iš pagrindinės įstriţainės elementų;
det(x) – randa kvadratinės matricos determinantą;
inv(x) – randa atvirkštinę matricą (kvadratinei matricai).
Matricoms galima panaudoti funkcijas max, min, mean, sort, sum, prod. Jos veiksmus atlieka su
kiekvieno stulpelio elementais atskirai. Visų šių funkcijų, išskyrus sort, rezultatas – masyvas eilutė.
Matricų bei jų elementų suliejimui (išskaidymui) naudojami tokie veiksmai:
A=[A1, A2, A3] – matricų sujungimas eilutėmis (horizontaliai). Turi sutapti visų matricų eilučių
kiekiai;
A=[A1; A2; A3] – matricų sujungimas stulpeliais (vertikaliai). Turi sutapti visų matricų stulpelių
kiekiai;
A(i, :) – visa i-oji eilutė;
A(2:3, 4:5) – matricos dalis ( elementai A24, A25, A34, A35);
A(2:3, 4:5) = B – matricos B įrašymas į nurodytą A vietą;
A(2:end, 5) – 5-ojo stulpelio elementai pradedant nuo 2-osios eilutės iki galo;
A(:) – matricos išskleidimas stulpeliais į vieną masyvą.
A(m,:) =[ ] - panaikina A matricos m-tąją eilutę;
A(:,n) = [ ] - panaikina A matricos n-tąjį stulpelį;
Matricas galima panaudoti tiesinių lygčių sistemų sprendimui.
x1
2x2
1;
Rasime lygčių sistemos 2x1
4x2
x3
2; sprendinį.
x2
5x3
3
>> A=[1 2 0;2 4 -1;0 1 5];
>> B=[1;2;3];
>> A^(-1)*B
ans =
-5
3
0

%arba
>>X=inv(A)*B
X =
-5
3
0
Grafikų braižymas
Matlab aplinkoje grafikas išvedamas atskirame lange, vadinamame Figure.
Paprastų grafikų braižymui bei jų charakteristikų nustatymui dažniausiai naudojamos šios funkcijos:
plot(x1, y1, s1, x2, y2, s2, …) – išveda grafiką. Dydžiai xi, yi – i-osios kreivės argumentų bei funkcijų
reikšmių masyvai, si – simbolinis kintamasis (nebūtinas), kuriame gali būti 3 specialūs simboliai,
nurodantys kreivės charakteristikas: linijos tipą, mazgo (taško) tipą bei linijos spalvą. Galima
nurodyti tik kai kurias iš šių charakteristikų. Jei dydžio nėra, tai grafiko linija ištisinė, grafiko taškai
vaizduojami pikseliais, o spalva kreivėms parenkama tokia tvarka: mėlyna, žalia, raudona, žydra,
violetinė, geltona, juoda, balta.
plot(y,s) – grafike ant x ašies atidedami taškų eilės numeriai.
grid įveda arba panaikina papildomą tinklelį. Taip pat galima naudoti grid on tinklelio įvedimui;
grid off – panaikinimui.
title('pavadinimas') – uţrašomas grafiko pavadinimas.
xlabel('x_vardas'), ylabel('y_vardas') – uţrašomi ašių pavadinimai.
axis – nustato ašių charakteristikas:
axis([xmin xmax ymin ymax]) – nurodomos ašių ribinės reikšmės;
axis square – abi ašys vienodo ilgio;
axis equal – vienodas abiejų ašių mastelis;
axis on, axis off – įveda arba panaikina ašis.
legend('tekstas1', 'tekstas2', …) įveda legendą, legend off – ją panaikina.
text(x, y, 'tekstas') – tekstas patalpinamas grafiko taške, kurio koordinatės (x, y).
>> %nubresime f-ju x , tan(x)+1 ir log(x+2) grafikus, kai x kinta [0,1;1].
>> x=0.1:0.2:1;
>> y=sqrt(x);
>> y1=tan(x)+1;
>> y2=log(x+2);
>> plot(x,y,x,y1,x,y2)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
ezplot('funkcija') – supaprastintas grafiko braižymas. x kitimo intervalas [-2, 2].
>> %nubresime f-jos y=sin2x*x grafika
>> ezplot('sin(2*x)*x')

sin(2 x) x
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
clf – išvalo grafinį langą.
fill(X, Y, 'spalva') – spalvina dvimačius daugiakampius. Čia X, Y – daugiakampio viršūnių
koordinačių masyvai, spalva gali būti ţymima raide.
line(X,Y, 'charakteristikos_pavadinimas1', charakteristika1, …)
>> X=[1 3 5 3 2 1];
>> Y=[2 4 7 1 0 2];
>> fill(X,Y,'g');
>> line(X,Y,'color','y','linewidth',7)
7
6
5
4
3
2
1
0
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
[x,y] = polybool('intersection', X1, Y1, X2, Y2) – dviejų daugiakampių sankirta (intersection). Čia
X1 ir Y1 – pirmojo daugiakampio viršūnių koordinačių masyvai, X2 ir Y2 – antrojo daugiakampio
viršūnių koordinačių masyvai. Šie masyvai turi būti vektoriai stulpeliai. Rezultatas – gauto
sankirtos daugiakampio viršūnių koordinačių masyvai x ir y.
[X1,X2] = meshgrid(x1,x2) – generuoja dviejų kintamųjų funkcijos f(x1,x2) argumentų vektorių
x1 ir x2 matricas X1 ir X2, kurios naudojamos funkcijos f(x1,x2) grafiniam pavaizdavimui.
surf(X1,X2,Z) – grafiškai pavaizduoja dviejų kintamųjų funkcijos paviršių. X1 ir X2 – funkcijos
argumentų reikšmių matricos, Z – funkcijos reikšmių matrica. Spalvų mastelis parinktas pagal
funkcijos reikšmę.
contour(X1,X2,Z,v) – dviejų kintamųjų funkcijos Z=f(X1,X2) pavaizdavimas izolinijomis (lygio
linijomis), v – lygio linijų reikšmių vektorius.
surf(X1,X2,Z,gradient(Z)) – grafiškai pavaizduoja dviejų kintamųjų funkcijos paviršių. X1 ir X2 –
funkcijos argumentų reikšmių matricos, Z – funkcijos reikšmių matrica. Spalvų mastelis parinktas
pagal funkcijos gradiento reikšmę.
colorbar – pavaizduoja funkcijos reikšmių spalvų mastelio stulpelį.
plot3(X1,X2,Z) – 3D grafikų išvedimas. X1,X2,Z – vektoriai, kurių elementai – taškų koordinatės,
per kurias brėžiama linija.
2
f grafiką, kai
2,2 ;
y
2,2
Nubrėšime ( x,
y)
xsin(
y )
>> x=-2:0.1:2;
x .

y=-2:0.1:2;
>> [X,Y]=meshgrid(x,y);
>> F=X.*sin(Y.^2);
>> surf(X,Y,F);
>> colorbar;
1.5
2
1
1
0.5
0
0
-1
-0.5
-2
2
-1
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
-1.5
F-jos f lygio linijos
>> figure(2);
>> contour(X,Y,F,[min(F),max(F)]);
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Nubrėšime per duotąjį paviršių einančią paviršiaus liniją.
>> figure (4)
>> surf(X,Y,F);
>> hold on;
>> plot3(X(20,:),Y(20,:),F(20,:),'m--','LineWidth',5);

2
1
0
-1
-2
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
Programavimas Matlabe
Ciklai:
for =::
;
end;
Čia xp pradinė ciklo kintamojo reikšmė, hx – kitimo žingsnis, xg – galinė reikšmė. xp, hx ir xg gali
būti bet kokio tipo skaitiniai elementai. Jei hx=1, jį galima praleisti.
while
;
end
Sąlygų tikrinimas
Sąlygos tikrinimo operatorius if gali būti tokių formų:
1) if
;
end
2) if
;
else
;
end
3) if
;
elseif
;
elseif
;
…
else
;
end
Užduotis

1
ln(250)
45
1. Apskaičiuokite išraišką
. Rezultatą išveskite trim skirtingais formatais.
5
5 2
9 3
2. Atlikite veiksmus su matricomis:
-suformuokite matricas A(4,3) ir B(4,4) iš laisvai parinktų skaičių ir vektorių eilutę C(3) iš
skaičių, priklausančių intervalui [-5;5];
antrąjį matricos A stulpelį pakeiskite pirmąja matricos B eilute ;
prie matricos A prijunkite vektorių C;
apskaičiuokite matricos B atvirkštinę ir jos determinantą;
x1
2x2
5x3
9x4
79,
3x1
13x2
18x3
30x4
263,
3. Raskite tiesinių lygčių sistemos
sprendinį. Patikrinkite, ar
2x1
4x2
11x3
16x4
146,
x1
9x2
9x3
9x4
92;
rastas sprendinys tikrai yra šios lygčių sistemos sprendinys.
3
x 1
4. Nubrėžkite grafikus: y , 4 2 2
3x3y
y x 9 , y x sin(5x)
, z e .
x
2
4
5. Sudarykite programą, kuri vektoriuje (turinčiame tris vienodas maksimalias reikšmes)
vietoje maksimumų įrašytų minimumą, o vietoje minimumo visų teigimų elementų sumą.
6. Kokius skaičiavimus atlieka duotas komandų rinkinys? Įvykdykite komandas. Ar galite
paaiškinti gautą rezultatą?
>> a = 0;
>> b = 0;
>> for i = 1:1000000
a = a + 1/i;
end
>> for i = 1000000:(-1):1
b = b + 1/i;
end
>> format long
>> b-a