Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas

Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės1. Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi pointegralinei funkcijai, t.y.∫ f x dx = f x .Įrodymas.∫ f x dx = F x + C = F x = f(x)2. Neapibrėžtinio integralo diferencialas lygus pointegraliniam reiškiniui,t.y. d(∫ f x dx) = f x dx.Įrodymas.d(∫ f x dx) = d F x + C = dF x + dC = F x dx = f x dx.3. Bet kurios funkcijos F(x) diferencijalo neapibrėžtinis integralas lygustai funkcijai, sudėtai su konstanta, t.y. ∫ dF x = F x + C.Įrodymas. ∫ dF x = ∫ F x dx = ∫ f x dx = F x + C.

Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės4. (1 teorema) Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integraloženklą, t.y. ∫ af x dx = a ∫ f x dx, kai a = const. (a ≠ 0).Įrodymas.Diferencijuojame abi lygybės puses:∫ af x dx = af xa ∫ f x dx = a ∫ f x dx = af x5. (2 teorema) Dviejų ar didesnio baigtinio skaičiaus funkcijųalgebrinės sumos integralas yra lygus šių funkcijų integralųalgebrinei sumai. ∫ f x + f x + … + f x dx == ∫ f x dx + ∫ f x dx + … + ∫ f x dx.6. (išvada iš 1 ir 2 teoremos) Integralo tiesiškumo savybė:∫ αf x + βg x dx = α ∫ f x dx + β ∫ g x dx.

Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės7. (3 teorema) (apie integravimo formulių invariantiškumą).Jei ∫ f x dx = F x + C ir u = φ x - turi tolydžią išvestinę,tai f u du = F u + CĮrodymas. Kadangi ∫ f x dx = F x + C, tai F x = f(x)arba dF x = f x dx.Imkime sudėtinę funkciją F u = F φ x .Kadangi pirmosios eilės diferencialui būdinga formosinvariantiškumo savybė, tai dF u = F u du = f u du.Tuomet ∫ f u du = ∫ dF(u) = F u + C.

Pagrindinės formulės

Tiesioginio integravimo metodasŠis metodas pagrįstas integravimo formulių invariantiškumu.Vadinasi pagrindinių integralų formulės visada yra teisingos,nepriklausimai nuo to, ar integravimo kintamasis yranepriklausomas, ar bet kuri deferencijuojama to kintamojofunkcija.Pvz.∫ sin x d (sin x) = + CVisada diferencialą dx galima pakeisti d ax + b , kai a ≠ 0.Pvz. dx = d(3x − 5)nesd 3x − 5 = ∙ 3x − 5 dx = ∙ 3dx = dx

Tiesioginio integravimo metodas• ∫ x + x + x dx• ∫ • ∫ dx • ∫ dx

Integravimas dalimisTegul duotos dvi kintamojo x funkcijos u = u(x) ir v = v x ,turinčios tolydžias išvestines.Šių dviejų funkcijų sandaugos diferencialasd uv = udv + vduiš čia gaunameudv = d uv − vdusuintegravę abi lygybės puses turime∫ udv = ∫ d uv − ∫ vdu = uv − ∫ vduŠi formulė ir vadinama integravimo dalimis formulė

Integravimas dalimis1. Integralai ∫ P x ln (x)dx, ∫ P x arcsin(x)dx,∫ P x arctg (x)dx, ...žymime u = ln (x), u = arcsin (x), u = arctg(x), ...2. Integralai ∫ P x e dx, ∫ P x cos (ax)dx,∫ P x sin (ax)dxžymime u = P x .3. Integralai ∫ e cos (bx)dx, ∫ e sin(bx) dx,∫ sin (lnx)dx, ∫ cos(lnx)dx, ...žymime u = e (arba u = cos (bx)), u = sin (ln x), …čia a, b – realūs skaičiai, P(x) – daugianaris.

• ∫ xlnxdx• ∫ x e dx• ∫ e cos (2x)dxIntegravimas dalimis

Kintamojo keitimo metodasTegul duotas integralas ∫ f(x)dx, kurio kintamąjį x pakeiskimereiškiniu x = φ(t).Tarkime, kad funkcijos f(x), φ(t) ir φ′(t) yra tolydžios, ofunkcija x = φ t turi atvirkštinę. Tada dx = φ t dt.Įrašę šias išraiškas į pradinį integralą gaunamePvz.∫ = ∫∫ f(x)dx = ∫ f φ t =φ′ t dt{parinkime keitinį t = , tada x = ta ir dx = adt}= ∫ = ∫ = arctg t + C = arctg + C

Kintamojo keitimo metodas• Jei pointegralinėje funckcijoje yra dauginamasis a − x tai galima taikyti keitinį x = a sin t arba x = a cos t• Jei pointegralinėje funckcijoje yra dauginamasis a + x tai galima taikyti keitinį x = a tg t arba x = a ctg t• Jei pointegralinėje funckcijoje yra dauginamasis x − a tai galima taikyti keitinį x =arba x =

• ∫ x 4 + 3x dx• ∫ dx• ∫ x x − 1dx• ∫ dxKintamojo keitimo metodas

Funkcijų su kvadratiniu trinariu integravimasI. Integralai ∫ , ∫ , ∫ dx ir ∫dx sprendžiami įvedant keitinį x + = t. čia a, b, c, M, N – realieji skaičiaiII.Integralas ∫ Mx + N = , dx = − dtčia M ≠ 0, a, b, c, M, N – realieji skaičiaisprendžiamas įvedus keitinį

Formulės:∫∫∫Funkcijų su kvadratiniu trinariu integravimas= Pvz.• ∫• ∫ln + C ∫ = ln + C = ln u + u − a + C u + a + C

Racionaliosios trupmenosRacionaliąja trupmena vadiname dviejų daugianarių santykį: čia P(x) ir Q xa , b ≠ 0= ⋯ ⋯ - daugianariai neturintys bendrų šaknų,Trupmena vadinama taisyklingąja, jei m > n. Priešingu atvejuji netaisyklingoji.Netaisyklingoji trupmena gali būti išreiškiama čia S(x) daugianaris, = S x +()- taisyklingoji racionalioji trupmena

Taisyklingosios racionaliosios trupmenosreiškimas paprasčiausiųjų trupmenų sumaTegul duota taisyklingoji racionalioji trupmena , kuriosdėmenys P x ir Q x neturi bendrų šaknų.Vardiklio funkcija Q x gali turėti kelias skirtingas realiąsias arkompleksines šaknis. Be to šaknys gali būti kartoninės.1. Tegul funkcija Q x = (x − a)(x − b)(x − c) turi trisrealiąsias šaknis a, b ir c, tada = + + 2. Tegul funkcija Q x = x − a turi tris realiąsiaskartotines šaknis a tada = ++

Taisyklingosios racionaliosios trupmenosreiškimas paprasčiausiųjų trupmenų suma3. Tegul funkcija Q x = (x + p x + q )(x + p x + q )turi skirtingas kompleksines šaknis a ± ib ir c ± id, tada = + 4. Tegul funkcija Q x = x + p x + q turi triskompleksines kartotines šaknis a ± ib, tada = + + čia A, B, C, D, E, F, p , q - realieji skaičiai

Racionaliųjų trupmenų integravimas•

Racionaliųjų funkcijų integravimasNagrinėkime integralą ∫ ()dx, čia P x ir Q(x) daugianariai()neturintys bendrų šaknų. Šis integralas skaičiuojamas keliaisetapais:1. Išskiriame sveikąją dalį.Jei racionalioji trupmena yra netaisyklinga , tai padaliję skaitikliodaugianarį iš vardiklio daugianario, šią trupmeną išreiškiame tamtikro daugianario S(x) ir taisyklingosios racionaliosios trupmenossuma:()= S x + ()() ()Integruodami šią lygybę gauname:∫ ()() dx = ∫ S x dx + ∫ ()() dx.

Racionaliųjų funkcijų integravimas2. Taisyklingosios racionaliosios trupmenos ()() vardiklįQ(x) išskaidome dauginamaisiais.3. Taisyklingąją racionaliąją trupmeną išreiškiamepaprasčiausiųjų racionaliųjų trupmenų suma.4. Integruojame paprasčiausias rasionaliąsias trupmenas.

Iracionaliųjų funkcijų integravimasNagrinėkime tas iracionaliąsias funkcijas, kurių integralai parinkuskeitinį, pakeičiami racionaliųjų funkcijų integralais, kitaip sakantpointegraliniai reiškiniai racionalinami.I. Nagrinėkime integralą ∫ R(x, x , … , x )dx.Simboliu R žymime kintamųjų x, x , … , x atžvilgiu racionaliąjąfunkciją.Pvz. f x =()( )( )( )tai f x = R x, x , x , x Integralo ∫ R(x, x , … , x )dx pointegralinis reiškinysracionalinamas naudojant keitinįk lygus trupmenų , … , bendrajam vardikliui. x = t; x = t dx = kt dt.

II. Nagrinėkime integralą ∫ R(x,a, b, c, d – realieji skaičiai, ad − bc ≠ 0. , … , )dx čiaŠio integralo pointegralinis reiškinys racionalinamas naudojantkeitinį:Iracionaliųjų funkcijų integravimasax + bcx + d=čia k – trupmenų , … , ax + b= t,cx + d = t , x = dt − ba − ct , dxad − bca − ct kt dtbendrasis vardiklis.

Trigonometrinių reiškinių integravimasNagrinėkime integralą ∫ R sin x , cos x dx, čia R – kintamųjųsin(x) ir cos(x) racionalioji funkcija.Integruojant trigonometrinius reiškinius, naudojami 4 pagrindiniaikeitiniai:1. Jei pointegralinė funkcija R sin x , cos x yra nelyginė sin(x)atžvilgiu (pakeitus funkcijos sin(x) ženklą, pointegralinė funkcijapakeičia ženklą), t.y.R − sin x , cos x = −R sin x , cos x ,tai naudojamas keitinys cos(x)=t.x = arccos tdx = −dt1 − t 2sin x = 1 − cos 2 (x) = 1 − t 2

2. Jei pointegralinė funkcija R sin x , cos x yra nelyginėcos(x) atžvilgiu (pakeitus funkcijos cos(x) ženklą, pointegralinėfunkcija pakeičia ženklą), t.y.R sin x , − cos x = −R sin x , cos x ,tai naudojamas keitinys sin(x)=t.x = arcsin tdx =dt1 − t 2sin x = 1 − sin 2 (x) = 1 − t 2

3. Jei pointegralinė funkcija R sin x , cos x yra lyginė sin xir cos(x) atžvilgiu t.y.R −sin x , − cos x = R sin x , cos x ,tai naudojamas keitinys tg(x)=t.sin x =cos x =x = arctg tdx =dt1 + t 2tg(x)1 + tg 2 (x) =11 + tg 2 (x) =t1 + t 211 + t 2

4. Jei pointegralinė funkcija R sin x , cos x netenkina nėvienos iš minėtų sąlygų, tai funkcijaR sin x , cos x racionalinama parinkus keitinį tan = t.x = 2arctg tdx =2dt1 + t 2sin x = 2tg(x 2 )1 + tg 2 ( x 2 ) =2t1 + t 2cos x = 1 − tg2 ( x 2 ) 1 − t21 + tg 2 ( x =2) 1 + t 2