Integralas su kintamu viršutiniu rėžiu. Integravimo metodai. - Ututi

2 o . Niutono ir Leibnico formulė. Svarbiausia 1-os teoremos išvada yra teiginys, kurį formuluojame
tokia teorema
2 Teorema. Kiekviena tolydžioji atkarpoje [ ab , ] funkcija f :[ , ]
pirmykštę funkciją, kuri užrašoma ( )
x
∫
Y x : = f t dt+
c,
c − konstanta.
a
( )
a b →
turi toje atkarpoje
Δ Žinome, kad f C[ ]
f
[ ],
todėl F x = f t dt yra pirmykštė funkcija. Tačiau
ab , ab , ∫
∈ ⇒ ∈R ( ) ( )
pirmykštės funkcijos tai pačiai funkcijai f skiriasi tik konstanta toje pačioje atkarpoje, todėl
Y ( x) = F( x) + c.
Δ
Pastebėsime, kad nustatėme pirmykštės funkcijos egzistavimą, neapsiribodami vien elementariųjų
funkcijų klase.
3 Teorema. Tarkime, kad f ∈C ab
Tuomet teisinga Niutono ir Leibnico formulė
[ ]
,
.
b
a
( ) = ( ) − ( ).
∫ f xdx Y b Y a
Δ Paėmę formulėje ( x) = f ( t) dt+
c,
b
Y ( ) ( ) Y ( )
=∫
x
∫
a
x
a
( ) .
Y kad x = a,
gauname Y a = c Kita vertus
b f x dx+ a arba Y ( b)
− Y ( a) =∫ f ( x)
dx . Dažnai skirtumą Y ( b) −Y
( a)
a
b
b
užrašome simboliu Y ( x) . Tuomet ( b) ( a) f ( x)
dx=Y
( x) .
a
b
a
b
− =∫
Y Y Δ
Atkreipsime dėmesį, kad Niutono ir Leibnico formulė yra fundamentalusis sąryšis visoje analizėje.
Bendresne prasme ši formulė pateikta E. Misevičius Matematinė analizė Id. – 183 p.
3 o . Integravimas dalimis. Jeigu funkcijos u( x ) ir v( x ) tolydžiai diferencijuojamos intervale
( , )
b
a
1
ab , t.y. uv , C[ ab , ]
∫udv
= uv b
−∫ vdu
a
b
a
b
∫
( )
∈ , tuomet ( )( ) uv)( )
.
a
a
b
( ( ′)( )
a
b
∫
u⋅ v′ x dx= x − v⋅u x dx arba trumpai
Δ Pagrindimas gaunamas iš funkcijų sandaugos diferencijavimo taisyklės
(uv)′ ( x) = ( u′ v)( x) + ( vu′
)( x),
kadangi visos funkcijos šioje lygybėje yra tolydžiosios.
Pritaikę Niutono ir Leibnico formulę, gauname atsakymą. Δ
2 Pavyzdys. Teiloro formulės su liekamojo nario integraline forma išraiška.
Imkime, kad funkcija t f () t yra n kartų tolydžiai diferencijuojama intervale ( ax, , ) t.y. turi
tolydžiasias išvestines iki n -tos eilės. Naudodami Niutono ir Leibnico formulę ir integruodami
nuosekliai dalimis, gauname
a
a