Integralas su kintamu viršutiniu rėžiu. Integravimo metodai. - Ututi

1.1.4-5. Integralas su kintamu viršutiniu rėžiu. Integravimo metodai.
1 o . Integralo su kintamu viršutiniu rėžiu tolydumas.
Tarkime, kad f − R -integruojama funkcija atkarpoje [a,b]. Apibrėžkime funkciją
x
( ) ( )
F x
: = ∫ f t dt,
kuri vadinama integralu su kintamu viršutiniu rėžiu. Kadangi
a
f ∈R
[ ],
tai f ∈R
ab , [ , ],
kai
ax
x ∈ ab , .
[ ax , ] ⊂ [ ab , ]. Tokiu būdu funkcija x F( x)
apibrėžta korektiškai visiems [ ]
Kadangi f ∈R tai f ( x)
≤ C visiems x [ ab , ].
[ ab]
,
,
x+ h x x+
h
( + ) − ( ) = () − () = () ≤ h ,
F x h F x f t dt f t dt f t dt C
( )
a a x
∈ Todėl gauname, kad
∫ ∫ ∫ kuomet x x h [ a b]
ab F∈
C[ ab ]
kad F x − tolydžioji funkcija atkarpoje [ , ], t.y.
Teisinga tokia svarbi teorema.
1 Teorema. Jeigu
[ ab , ]
f ∈R ir funkcija f − tolydžioji taške x [ ab]
,
.
, + ∈ , . Tai reiškia,
x
( ) ( )
∈ , , tuomet F x = ∫ f t dt yra
diferencijuojama funkcija intervale ( ab , ) taške x ir F′
( x) = f ( x).
Δ Tegul x, x+ h∈ ( a, b)
. Kadangi funkcija f tolydžioji taške x , tuomet gauname, kad
x+ h x+ h x+ h x+
h
F( x+ h) −F( x)
1 1 1 1
− f ( x) = f () t dt− f ( x) = f () t dt− f ( x) dt ≤ f () t − f ( x)
∫ ∫ ∫ ∫ dt
h h h h h
x x x x
Žinome, kad lim f ( t) = f ( x , todėl f ( t) − f ( x) < ε,
kai t x δ ( ε )
)
t→x Galutinai turime, kad () ( )
( + h) −F( x)
1
h
x+
h
− < taško x aplinkoje V ( x).
1
∫ f t − f x dt < ε ⋅ h=
ε , o tai reiškia, kad ir
h
x
( ) ( )
F x
F x+ h −F x
− f ( x)
< ε su visais h → 0. Kitaip tariant, lim
h
h→0
h
= f x
F′ ( x) = f ( x).
Δ
Pastaba. Teorema išplečiama ir atvejui, kai funkcija f diferencijuojama atkarpoje [a, b].
1 Pavyzdys. Apskaičiuokime
x
∫
( artg t) 2
dt
0
lim .
x→+∞ 2
x + 1
Δ Remdamiesi Liopitalio taisykle, gauname
x
2
∫ ( arctg t)
dt
2 2 2
( arctg x
0
) ( arctg x)
2 π
lim = lim = lim = lim ( arctg x)
= ,
x→+∞ 2
x→+∞ 1 1 2x
x→+∞ x
x→+∞
x +
4
2
2 2
+ 1 + 1
x →+∞ . Δ
2
Uždavinys. Apskaičiuokite ∫ ( πt
)
x
d
dx
cos x
sin x
cos dt.
x
nes
a
( )
δ
arba
x
→1,
kai
2
x + 1
.

2 o . Niutono ir Leibnico formulė. Svarbiausia 1-os teoremos išvada yra teiginys, kurį formuluojame
tokia teorema
2 Teorema. Kiekviena tolydžioji atkarpoje [ ab , ] funkcija f :[ , ]
pirmykštę funkciją, kuri užrašoma ( )
x
∫
Y x : = f t dt+
c,
c − konstanta.
a
( )
a b →
turi toje atkarpoje
Δ Žinome, kad f C[ ]
f
[ ],
todėl F x = f t dt yra pirmykštė funkcija. Tačiau
ab , ab , ∫
∈ ⇒ ∈R ( ) ( )
pirmykštės funkcijos tai pačiai funkcijai f skiriasi tik konstanta toje pačioje atkarpoje, todėl
Y ( x) = F( x) + c.
Δ
Pastebėsime, kad nustatėme pirmykštės funkcijos egzistavimą, neapsiribodami vien elementariųjų
funkcijų klase.
3 Teorema. Tarkime, kad f ∈C ab
Tuomet teisinga Niutono ir Leibnico formulė
[ ]
,
.
b
a
( ) = ( ) − ( ).
∫ f xdx Y b Y a
Δ Paėmę formulėje ( x) = f ( t) dt+
c,
b
Y ( ) ( ) Y ( )
=∫
x
∫
a
x
a
( ) .
Y kad x = a,
gauname Y a = c Kita vertus
b f x dx+ a arba Y ( b)
− Y ( a) =∫ f ( x)
dx . Dažnai skirtumą Y ( b) −Y
( a)
a
b
b
užrašome simboliu Y ( x) . Tuomet ( b) ( a) f ( x)
dx=Y
( x) .
a
b
a
b
− =∫
Y Y Δ
Atkreipsime dėmesį, kad Niutono ir Leibnico formulė yra fundamentalusis sąryšis visoje analizėje.
Bendresne prasme ši formulė pateikta E. Misevičius Matematinė analizė Id. – 183 p.
3 o . Integravimas dalimis. Jeigu funkcijos u( x ) ir v( x ) tolydžiai diferencijuojamos intervale
( , )
b
a
1
ab , t.y. uv , C[ ab , ]
∫udv
= uv b
−∫ vdu
a
b
a
b
∫
( )
∈ , tuomet ( )( ) uv)( )
.
a
a
b
( ( ′)( )
a
b
∫
u⋅ v′ x dx= x − v⋅u x dx arba trumpai
Δ Pagrindimas gaunamas iš funkcijų sandaugos diferencijavimo taisyklės
(uv)′ ( x) = ( u′ v)( x) + ( vu′
)( x),
kadangi visos funkcijos šioje lygybėje yra tolydžiosios.
Pritaikę Niutono ir Leibnico formulę, gauname atsakymą. Δ
2 Pavyzdys. Teiloro formulės su liekamojo nario integraline forma išraiška.
Imkime, kad funkcija t f () t yra n kartų tolydžiai diferencijuojama intervale ( ax, , ) t.y. turi
tolydžiasias išvestines iki n -tos eilės. Naudodami Niutono ir Leibnico formulę ir integruodami
nuosekliai dalimis, gauname
a
a

x
x
x
f x − f a = f t dt =− f t x − t ′ dt =−f t x − t +
( ) ( ) ′() ′()( ) ′()( )
x
∫
a
∫
a
( n − )
2 ′
( )
( )
1
+ ∫ f′′ ( x− t) dt = f′ ( a)( x−a) − ()( )
2
∫ f′′
t x− t dt =
a
a
x
1 2 1
3 ′
= f′ ( a)( x− a) + f′′ ( a)( x−a) − f′′′
()( t x− t)
dt =
2 2⋅3∫
a
1 1
= f′ ( a)( x− a) + f′′
( a)( x− a)
+ … + f
2 2⋅3…
( n −1)
a x−a
x
1 ( n
+ rn( a; x) ; rn( a; x)
: =
) n−
f ()( t x−
t) 1 dt.
1!
∫
x
( n−1
)
( )( )
2 n−1
a
Be to, pastebėsime, kad funkcija ( ) n −
x − t
1
nekeičia ženklo atkarpoje [ , ]
( n )
()
a
+
ax. Kadangi funkcija
t f t yra šioje atkarpoje tolydžioji, tai, remdamiesi pirmąja vidutinės reikšmės teorema,
turime, kad egzistuoja toks taškas ξ ,
( n−
)
x
x
n−1 n−1
1 ( n
( )
) 1 ( n
r ()( )
)
n
a;
x = f t x− t dt = f ( ξ ) ( x−t)
dt
1!
∫
1!
∫ =
a
x
( n−
)
1 ( n ) ⎛ 1 n⎞
1 ( n
( ) ( )
) n
= f ξ ⎜− x− t ⎟ = f ( ξ)( x−a)
.
( n−1!
) ⎝ n ⎠ n!
a
Taigi, gavome žinomą Teiloro formulę su liekamuoju nariu Lagranžo forma. Taškas ξ yra intervale
( ax , ).
3 Pavyzdys.
2 2 4 4 4
2 2
x x 2 2
t t e
1 1 1 −1
e xdx = e dx = x : = t e dt = e = .
2 2 2 2
∫ ∫ ∫
0 0 0
4 Pavyzdys. Apskaičiuokite
1
∫
0
2
1 − x dx.
4 o . Kintamojo keitimas. Imkime pradžioje, kad funkcija f yra tolydžioji intervale ( ab , ).
4 Teorema. Jeigu funkcija t ϕ ( )
( α,
β ) ir a< ϕ () t < b,
tuomet, jeigu α ∈ ( αβ)
β ( αβ)
a
0
= ϕ ( α0 ), b0 = ϕ( β
0)
, tai f ( xdx ) = ( f⋅g)()
t
b
a
a
0
kad
t yra tolydžioji su tolydžiąja pirmos eilės išvestine intervale
β
0 0
α
0 0
0
, ,
() .
∫ ∫ ϕ′ t dt
Ši formulė vadinama kintamojo keitimo formule apibrėžtiniame integrale.
0
∈ , , α < β , 0 0

Δ Pastebėsime, kad funkcija f apibrėžta funkcijos ϕ reikšmių srityje, todėl sudėtinė funkcija
( f g)( t)
turi prasmę. Užrašytoje formulėje abi lygybės pusės apibrėžtos tolydžiosiomis
funkcijomis, todėl abu integralai egzistuoja.
Tegul Φ( x)
− kuri nors pirmykštė funkcija funkcijai f intervale ( ab. , ) Tuomet sudėtinė funkcija
( Φ ϕ)()
t = Φ(ϕ()
t turi prasmę. Ji yra pirmykštė funkcija funkcijai f ϕ()
t ϕ′ t Remdamiesi
)
Niutono ir Leibnico formule, gauname ( ) =Φ ) −Φ(
β
α
0
∫
0
( ()) () ( )
b
a
0
∫ f xdx ( b
0
a0),
0
( ) ( ( )) ( ) ( )
f ϕ t ϕ′ t dt =Φ ϕ β −Φ ϕ α =Φ b −Φ a 0
0 0 0
.
Δ
( ) ().
Pastebėsime, kad teoremos formulė lieka teisinga, kai α > β . 0 0
Jei naudotis ir vienpusėmis išvestinėmis sudėtinei funkcijai, tai teoremą galima įrodyti, kuomet
, ,
, , a = ϕ α , b= ϕ β ir
funkcija apibrėžta atkarpoje [ ab ] ϕ − apibrėžta atkarpoje [ α β ] kai ( ) ( )
funkcijos ϕ reikšmių sritis priklauso atkarpai [ ab. , ] Tuomet kintamojo keitimo formulę rašome
b
a
β
( ) = ( ( )) ()
∫ f xdx ∫ f ϕ t ϕ′ t dt.
Keičiant kintamąjį x ϕ ( t)
α
galime formaliai keisti x į
b
a
β
( ) = ϕ( )
∫ ∫
( ) ϕ().
f xdx f t d t
α
ϕ () t
= apibrėžtiniame integrale f ( )
b
∫
a
xdx
,
ir atitinkamai pakeisti rėžius, tuomet gautume tokį užrašą
5 Pavyzdys. Įrodysime, kad
π/2 π/2
m
m
∫ sin xdx = ∫ cos xdx, m = 0,1,2,3, …
0 0

π
Δ Nesunku matyti, kad paėmus x = − t,
gauname reikiamą lygybę. Δ
2
b
b
a+
b
Uždavinys. Įrodykite, kad x f ( x) dx=
f ( x) dx,
f C
,
2
ab
f ( a+ t) = f ( b−
t) .
∫ ∫ kai ∈
[ ]
ir visiems t∈[ 0, b−
a]
a
a
( n − )
⎡ 1!! π
π/2 π/2
⎢ , kai n − lyginis,
n
n n!! 2
6 Pavyzdys. Įrodysime, kad In
: = ∫ sin xdx= ∫ cos xdx=⎢
0 0 ⎢ ( n −1!! )
⎢ 1, kai n − nelyginis.
⎣ n!!
Pastaba. n !! reiškia sandaugų skaičių n∈ , kurie yra vienodo lygiškumo duotojo n atžvilgiu,
pvz., 5! ! = 1⋅3⋅5.
Δ Integruodami dalimis, gauname
π/2 π/2 π/2
n n−1 n−1 π /2
n−2
2
n−2 2
( ) ∫ ( ) ( ) n−2
( )
( )
I = sin xdx =− sin x d cos x =− sin xcos x + n − 1 sin x cos xdx =
n
∫ ∫ ∫
0
0 0 0
π /2
= n−1 sin x 1− sin x dx= n−1 I − n−1 I .
0
n −1
Iš čia randame, kad In
= In−2.
n
π/2 π/2
π
Kadangi I0
= dx= , In
= sinxdx=
2
∫ ∫ 1, todėl, kai n 2k
1,
0 0
( − )…
( )( )
n
( − )
( )
2k
2k 2k 2 2 2k
1 !!
I2k+ 1
= I2k−
1
= = I1
= ,
2k+ 1 2k+ 1 2k−1 … 1 2k+
1 !!
= + t.y. nelyginis, tuomet
Kai n=
2 k,
t.y. lyginis, tada
( )( )
( − )…
( )
( )
2k
−1
2k−1 2k−3 … 1 2k−1 !! π
I2k
= I2k−2 = = I0
= .
2k 2k 2k
2 2 2 k !! 2
Δ
7 Pavyzdys. Voliso formulė (J. Wallis, 1616-1703 angl.) Iš gauto rezultato 4 pvz. lengvai gauname
π 1 ⎛ 2 n !! ⎞
formulę skiačiui π apskaičiuoti, kurią ateityje panaudosime, = lim .
2 n→+∞
( 2n+ 1)
⎜( 2n−1 )!
⎟
⎝ ! ⎠
2n+ 1 2n 2n−1
π
⎡ π ⎤
Δ Integruodami nelygybę sin x≤sin x≤sin x, 0 ≤ x≤ , atkarpoje 0,
2
⎢
⎣ 2 ⎥
, gauname
⎦
π/2 π/2 π/2
2n+ 1 2n
2n−1
∫ ∫ ∫
sin xdx ≤ sin xdx ≤ sin xdx
0 0 0
(nesunku pagrįsti, kad, griežtai imant, turime griežtas nelygybes).
( 2 n)
!! ( 2n−1 )!! ( 2 2 )!! Remdamiesi I
n
rezultatu, turime I2n+ 1
≤ I2n ≤ I2n−
1
arba
π n−
≤ ⋅ ≤ .
2n+ 1 !! 2 n !! 2 2n−1
!!
( )
( )
( )
2
( )

Pažymėkime x
n
( n)
( )
( n)
( )
2 2
1 ⎛ 2 !! ⎞ 1 ⎛ 2 !! ⎞
π
: = , yn
:
2n 1⎜ 2n 1 !! ⎟
=
2n⎜
.
+ ⎝ − ⎠ ⎝ 2n−1 !! ⎟
Tada gauname, kad xn
≤ ≤ yn.
Iš
⎠
2
( 2 n)
!!
( )
1 1 ⎛ ⎞ 1 π
čia išplaukia, kad yn
− xn
= 0,
2n 2n 1⎜
≤ →
2n 1 !! ⎟
kai n →+∞,
+ ⎝ − ⎠ 2n
2
π
lim ( yn
− xn)
= 0, t.y. atkarpų [ xn,
yn]
∈ ilgiai artėja į nulį.
n→+∞
2
π π
Kitaip tariant, lim xn
= , lim yn
= . Įrašę x
n
reikšmę, galutinai gauname Voliso formulę
n→+∞
2 n→+∞
2
( 2 n)
!!
( n )
2
1 ⎛ ⎞ π
lim .
n→+∞
( 2n
1)
⎜
=
2 1 !! ⎟
Δ
+ ⎝ − ⎠ 2
8 Pavyzdys. Stirlingo (D.Stirling, 1692-1770, škotų mat.) formulė. Didelėms n! reikšmėms
n
n
skaičiuoti naudojama Stirlingo apytikslė formulė n!~ 2 π n ⎛ ⎜
⎞ ⎟ , n .
⎝e
⎠
→+∞
Jai įrodyti yra panaudota Voliso formulė. Įrodymas pateiktas E.Misevičius Matematinė analizė, Id.
– 187 p.
n θn
n
12n
Stirlingo formulė n! = 2 πn ⎛ ⎜ ⎞
⎟ e , 0< θn
< 1,
dažnai vartojama tikimybių teorijoje ir
⎝e
⎠
statistikoje; θ - yra funkcija nuo n.
n
Uždavinys. Tarkime, f yra R -integruojama funkcija atkarpoje [ − aa , ]. Tuomet f ( x) dx=
0,
f − nelyginė funkcija, ir ( ) = ( )
a
∫
−a
f xdx 2 f xdx,
a
∫
0
2
a
−a
todėl
∫ kai
kai f − lyginė funkcija. Įrodykite. Pateikite
grafinę šio fakto interpretaciją.
Jeigu funkcija f yra integruojama funkcija visoje skaičių ašyje ir periodinė
a+
T
f ( x+ T) = f ( x), T > 0, tuomet f ( x) = f ( x)
d .
Uždavinys. Įrodykite, kad
1
2
∫
1
−
2
a
T
∫ ∫ x Įrodykite. Paaiškinkite grafiškai.
1+
x
cos x ln dx=
0.
1−
x
x
Uždavinys. Įrodykite, kad f () tdt−
f () t − nelyginė funkcija.
a
0
∫ lyginė funkcija, t.y. f () tdt=
f() tdt,
− x
a
x
∫ ∫ jeigu
a