ATSITIKTINIAI ĮVYKIAI JŲ VEIKSMAI

ATSITIKTINIAI ĮVYKIAI
Tikimybių teorija ir statistika
1 paskaita

Eksperimentas (bandymas) & įvykis
• Kiekvieno atliekamo eksperimento (bandymo)
rezultatas vadinamas įvykiu.
2
PVZ:
• Metamas lošimo kauliukas – bandymas:
◦ Įvykis A – iškrito lyginis akučių skaičius
◦ Įvykis B – iškrito 2 akutės.
• Perkamas akcijų paketas – bandymas, dividendų
gavimas – įvykis.

Elementarieji įvykiai
• Įvykiai, kurių negalima skaidyti į smulkesnes dalis
vadinami elementariaisiais.
• Elementariajam įvykiui būdinga tik viena baigtis.
Tokių įvykių aibė vadinama elementariųjų įvykių
erdve. Vadinasi, elementariųjų įvykių erdvę sudaro
visi galimi bandymo rezultatai, kurie gali įvykti tik
atskirai (o ne kartu su kitais) ir kurių negalima
“smulkinti”.
• Dažnai elementarieji įvykiai žymimi ω i , o visų
elementariųjų įvykių aibė žymima Ω .
3

Pavyzdžiai
• Vieną kartą metama simetriška moneta. Šio bandymo rezultatai
yra du elementarieji įvykiai: - iškrito herbas ir iškrito skaičius.
Taigi šio eksperimento elementariųjų įvykių aibė (H; S)
4
• Vieną kartą metamas simetriškas kauliukas. Elementarusis įvykis
– atvirtusių akučių skaičius. Elementariųjų įvykių aibę sudaro 6
elementarieji įvykiai.
• Moneta metama tol, kol išskris herbas. Elementarusis įvykis –
herbas iškrito po i-ojo metimo. Šiuo atveju elementariųjų įvykių
aibė yra begalinė. Pavyzdžiui, ω 3 – herbas iškrito po trečiojo
metimo, t. y. eksperimento rezultatas buvo SSH.

Apibrėžimai
• Įvykis, kuris visuomet įvyksta vadinamas būtinuoju
įvykiu ir žymimas Ω .
• Įvykis, kuris niekuomet neįvyksta, vadinamas
negalimuoju įvykiu ir žymimas Ø .
5
PVZ:
• Pavyzdžiui, prie 100º C temperatūros vanduo, esant
normaliam slėgiui, užverda- tai būtinas įvykis, bet
prie tų pačių sąlygų, jis niekada nevirs ledu – tai
negalimas įvykis.

Apibrėžimas
• Atsitiktiniais įvykiais vadinsime bet kuriuos
elementariųjų įvykių aibės poaibius. T.y. atsitiktinis
įvykis – įvykis kuris gali įvykti arba gali neįvykti. Jis
gali susidėti iš vieno arba kelių elementariųjų įvykių.
6
• Pastebėkime, kad apibrėžimas galioja ir būtinajam, ir
negalimajam įvykiams.

VEIKSMAI SU ĮVYKIAIS

Įvykio poaibis
• Įvykis A yra vadinamas įvykio B poaibiu, kai įvykis
A yra įvykio B dalis
Žymima A B
8
B
A
A
B
A B
B
A
Jei eksperimento metu įvyko įvykis
B , tai įvyks ir įvykis A .
Jei eksperimento metu įvyko įvykis
A, tai įvyks ir įvykis B.

Įvykio poaibis
9
A
B
1,2,3,4
2,4
A
B

Įvykių sąjunga (suma)
10
• Įvykių A ir B sąjunga (suma) vadinamas įvykis,
kuris įvyksta, kai įvyksta bent vienas iš įvykių A arba
B .
Žymima A+B arba AUB.
A
B
Ω

Įvykių sąjunga (suma)
A
1,2,3,4
11
B
4,5
A
B
A+B

Įvykių sankirta (sandauga)
• Įvykių A ir B sankirta (sandauga) vadinamas
įvykis , kuris įvyksta, kai įvyksta abu įvykiai A ir B
12
Žymima A·B, A∩B arba A&B
A
B
Ω

Įvykių sankirta (sandauga)
A
1,2,3,4
13
B
4,5
A
B
A&B

Įvykių skirtumas
• Įvykių A ir B skirtumu vadinamas įvykis , kuris
įvyksta, kai įvyksta įvykis A ir neįvyksta įvykis B.
14
Žymima A/B, A-B
A
B
Ω

Įvykių skirtumas
A
1,2,3,4
15
B
4,5
A
B
A\B

Priešingas įvykis
• Įvykis, kuris įvyksta, kai neįvyksta įvykis A,
vadinamas priešingu įvykiui A
Žymima A
16
A A
A
Ω
A A
Ø
A A

Priešingas įvykis
17
A
A
1,2,3,4
5,6
A
A

Nesutaikomas įvykis
• Įvykiai A ir B vadinami nesutaikomais, jei jie
negali įvykti kartu:
• Priešingu atveju jie vadinami sutaikomais
18
A B Ø
A
B
Ω

A
A
1,2,3,4
5,6
Nesutaikomas įvykis
19
A
A

PILNOJI ĮVYKIŲ GRUPĖ
• Įvykiai sudaro pilnąją įvykių grupę, jei:
20
• 1) bet kurie du iš įvykių yra nesutaikomi
• 2) visi jie kartu sudaro visą elementariųjų įvykių
aibę

PILNOJI ĮVYKIŲ GRUPĖ
21
A i A
j
Ø, i
j
n
A k
k1

KOMBINATORIKOS
PRIMINIMAS

KĖLINIAI. Tokie junginiai, kurie skiriasi vienas
nuo kito tik elementų išdėstymo tvarka.
23

GRETINIAI. Gretiniais iš n elementų po m elementų
yra tokie junginiai, kurie vienas nuo kito skiriasi arba
pačiais elementais, arba jų išsidėstymo tvarka.
24

DERINIAI. Deriniais iš n elementų po m elementų
vadinami junginiai, kurie vienas nuo kito skiriasi
tik pačiais elementais (tvarka nėra svarbi)
25

TIKIMYBĖ

Statistinis tikimybės apibrėžimas
• Įvykio statistine tikimybe vadinamas skaičius
P(A), apie kurį telkiasi santykis k/n , esant dideliam
eksperimentų skaičiui .
27

Klasikinis tikimybės apibrėžimas
• Klasikinė tikimybė lygi palankių ir visų
elemenariųjų įvykių skaičių santykiui.
28

Geometrinis tikimybės apibrėžimas
29
P ( A)
n
yra tiesės, plokštumos arba Euklido erdvės R sritis,
A - srities A matas (ilgis, plotas, tūris).
A
.

Geometrinis tikimybės apibrėžimas: pavyzdys
30
Žinoma, kad 0 x 1,
0 y 1.
Rasti tikimybę, kad x y 1
ir
3
xy
16

Pavyzdys
31

PAGRINDINĖS TIKIMYBIŲ SAVYBĖS
32
1. 0 P ( A)
1;
2. P ( Ø) 0;
3. P ( )
1.
4. PA
1
P(
A )
1 1