01.01.17. Funkcijų eilutės. Tolygusis konvergavimas.pdf - Ututi

1.1.17. Funkcijų eilutės. Tolygusis konvergavimas.
1 o . Tarkime funkcijos un
( x),
n∈ , apibrėžtos aibėje E ir ∀x ∈ E egzistuoja baigtinė sekos
( Sn
( x)
, n∈)
( ) ( )
1 2
n
, Sn( x)
: = ∑uk( x)
riba. Tuomet sakome, kad funkcijų eilutė
k = 1
+∞
( ) + =∑
( )
u x + u x + … +u x … un x konverguoja aibėje E , t.y. lim S ( x) = S( x)
, x∈
E.
Funkciją
n
n=
1
n→+∞
S(
x) vadiname funkcijų eilutės suma taške x ir rašome ∑ u ( x) = S( x), x∈E.
Kitaip
( ) ( ) ( ) ( )
parašius, turime ∀ ε > 0 ∃nε
x : ∀n≥nε
x ⇒ Sn
x − S x < ε arba Sn
( x) →S( x), n→+∞ , t.y.
eilutės konvergavimą pataškiui.
Eilutės konvergavimo sritį randame, naudodami žinomus konvergavimo požymius. Jeigu
+∞
kiekviename taške x∈ E , eilutė ∑ un
( x)
konverguoja, tuomet sakome, kad eilutė konverguoja
absoliučiai.
n=
1
+∞
( − )
∑
n
n
1 ⎛1−
x ⎞
1 Pavyzdys. Raskime eilutės ⎜ ⎟ konvergavimo ir absoliutaus konvergavimo sritį.
n=
1 2n+ 1⎝1+
x⎠
Δ Remiantis Dalambero principu, duotoji eilutė konverguos absoliučiai, kai 1 − x
< 1, nes tuomet
1+
x
konverguoja eilutė
+∞
n=
1
( −1)
konverguoja absoliučiai, kai
n
n
∑ q , q 0. Taigi, eilutė
2n
+ 1
x > 0.
Jeigu imti
1−
1+
x
x
= 1, tuomet 0
+∞
n=
1
x = ir ( 0)
u n
n
n
( −1)
n
=
2n
+ 1
.
Skaičių eilutė u 0 konverguoja, bet neabsoliučiai. Taigi, eilutės u x konvergavimo sritis
yra E = [0, + ∞ .
)
+∞
∑
n=
1
Δ
n
( )
+∞ n
x
2 Pavyzdys. Raskime eilutės ∑ konvergavimo bei absoliutaus konvergavimo sritis.
2n
n= 1 1+
x
Δ Pritaikę Dalambero požymį, gauname
1
n+
1 2n 2 2
( )
( 1 2n
n n
2
1
)
1
1
n
un
x x + x 1
x x
+
+
+ x +
x
lim = lim = x lim = x lim = x lim .
n →+ ∞ 2n
2 n
2n
2
u ( )
n
( 1
n
)
1
n
2 2 1 n
n
2 1
n
x →+∞ +
+
+ x x
→+∞ + x
→+∞ →+∞
x x + x +
2n
2n
x
x
Kai x < 1, tuomet
1
1+
2n
x
x lim < 1,
n→+∞
2 1
x +
2n
x
kai x > 1, tuomet
+∞
∑
n=
1
1
1+
2n
x
x lim < 1.
n→+∞
2 1
x +
2n
x
Eilutė konverguoja absoliučiai, kuomet x > 1 ir x < 1. Kai x = 1, gauname diverguojančią eilutę
(kodėl?).
Galutinai turime, kad eilutė konverguoja absoliučiai visoje skaičių tiesėje, išskyrus taškus x = 1 ir
x =−1.
Δ
n
( )

2 o . Tolygus eilutės konvergavimas. Tarkime, eilutė u ( x) u ( x) … u ( x)
1
+
2
+ +
n
+ … konverguoja tam
tikroje aibėje E . Ar eilutės suma bus visada tolydžioji funkcija, kuomet eilutės nariai tolydžiosios
funkcijos? Pasirodo, kad taip nėra.
2 4 2 6 4 2 n 2n
2
x + x − x + x − x + … + x − x − + …. Dalinė eilutės suma
Imkime eilutę ( ) ( ) ( )
2 4 2 6 4 2n 2n−2 Sn
( x) = x + ( x −x
) ( ) ( )
2 n
+ x − x + + x − x = x ,
gauname, kad
E = [ −1,1].
( )
S x =1, kai 1
n
lim lim .
2
… todėl S( x) = S ( x) = x
x = ir ( ) 0,
n→+∞
n
n→+∞
Iš čia
S x = kai x < 1, t.y. eilutės konvergavimo sritis yra
⎡1, x =± 1,
Akivaizdu, kad S( x)
= ⎢
⎣0, − 1< x < 1.
Tokiu būdu eilutė, sudaryta iš tolydžiųjų funkcijų, konverguoja į trūkią funkciją.
+∞
Apibrėžimas. Eilutė ∑un
( x)
vadinama tolygiai konvertuojančia aibėje E , jeigu
n=
1
( ) ( ) ( ) ( )
∀ ε > 0 ∃n x : ∀n≥n x ⇒ S x − S x < ε,
∀x∈ E. Tuomet trumpai rašome
ε
ε
n
S( x ) S( x),
∀x∈ E, skirtingai nuo užrašo ( ) ( ),
Sn
x →S x x∈E
−eilutės konvergavimo
konkrečiame aibės E taške.
Kadangi S ( x) − S( x) = r n ( x) , tai reiškia, kad tolygiai konverguojančiai eilutei turime:
n
( )
∀ ε > 0 ∃n : ∀n≥n ⇒ r x < ε,
∀x∈ E.
ε
ε
n
+ − + − + + − + ….
2 4 2 6 4 2
Imkime jau pateiktą pavyzdį ( ) ( ) ( n 2n
2
x x x x x … x x −
)
Ši eilutė konverguoja, kai 1 ≤ x ≤1,
tačiau netolygiai.
Tikrai, ( ) ( )
2 n
⎡x
, − 1< x<
1,
Sn
x − S x =⎢
⎣ 0, x =± 1.
2n
2
Imkime ε > 0 ir išspręskime nelygybę x < ε , kai − 1< x < 1 ir x ≠ 0 , tuomet gauname nln x < ln ε,
lnε
reiškia n > , t.y. n parinkimas priklauso nuo ε ir taško x , kuriame tiriame eilutės sumą;
2
ln x
lnε
nε
( x) : = . Matome, kad eilutės nario numeris n
2
ε ( x)
yra priklausomas nuo x ir neaprėžtas.
ln x
Nesunku matyti, kad iš S ( x) − S( x)
gauname, kad nε ( x) = 1, kai x = 0 ir x =± 1.
Pastebėsime, kad parinkus atkarpą [ ]
n
− 1 + δ,1 − δ , δ > 0,
eilutės konvergavimas jau bus tolygus, nes
lnε
tuomet funkcija aprėžta atkarpoje
2
[ − 1 + δ ,1 −δ
],
o tuo pačiu jau aprėžtas ir eilutės nario
ln x
numeris nε ( x),
kad eilutė konverguotų, kai ∀n≥
nε
( x).
Galima įrodyti, kad būtina ir pakankama tolygaus eilutės konvergavimo sąlyga aibėje E yra
sup r x →0, n→+∞.
x∈E
n
( )
+∞
∑ n ( )
( )
3 Pavyzdys. Įrodysime, kad eilutė u x konvertuoja tolygiai aibėje E = δ, +∞ , δ >0, kai
u
n
( x)
: x
=
.
( 1+ ( n− 1)
x)( 1+
nx)
n=
1

Δ Pastebėsime, kad u ( x)
n
= 1
.
1 n 1 x − 1
+ − 1+
nx
( )
Todėl lengvai randame S ( x)
n
1
= 1− . Turime,
1 + nx
1
kad S( x ) = 1, kai n →+∞ , ir rn( x) = = S( x) −Sn( x)
. Paėmę x > δ > 0, gauname, kad
1+
nx
1
nx > nδ
, 0 < rn
( x)
< . Iš čia išplaukia eilutės tolygus konvergavimas aibėje E . Δ
1 + nδ
Suformuluosime be įrodymo Koši kriterijų.
Teorema. Eilutė
+∞
∑
n=
1
u
n
( x)
konverguoja tolygiai aibėje
n+
p
kriterijų: ∀ ε > 0 ∃
ε
: ∀ nε p x E ∑ uk
( x)
n n ≥ , ∀ ∈ , ∀ ∈ ⇒ < ε.
k= n+
1
E , tada ir tik tada, kai ji tenkina Koši
Šis kriterijus dažnai patogus teoriniuose samprotavimuose.
3 o . Tolygaus konvergavimo pakankamas kriterijus (Vejerštraso).
+∞
Teorema. Jeigu funkcijų eilutei u x galima nurodyti tokią teigiamą konvertuojančią skaičių
+∞
∑ , n 0
n=
1
n=
1
( )
eilutę a kad su visais n≥ n ir visais x E
+∞
∑ u ( x n ) konverguoja absoliučiai ir tolygiai aibėje E .
n=
1
∑
Δ Remiantis teoremos sąlyga, kai
su visais x∈
E.
+∞
∑
n
n n 0 ,
∈ teisinga nelygybė u ( x) a ,
n
≤ n
tuomet funkcijų eilutė
n+ p n+
p n+
p
≥ tai u ( ) ,
n
x ≤ a n
tuo pačiu ∑ k ( ) ≤ ∑ k ( ) ≤ ∑
u x u x a
k
k= n+ 1 k= n+ 1
k= n+
1
Kadangi skaičių eilutė a konverguoja, tai jai išpildomas Koši kriterijus, t.y.
n
n=
1
n+
p
ε ε ∑ k
.
k= n+
1
n+ p
n+
p
∀ ε > 0 ∃n : ∀n≥n , ∀ p∈ ⇒ a < ε Reiškia, funkcijų eilutei u x išpildoma tolygaus
konvergavimo Koši sąlyga. Kadangi
absoliučiai. Δ
+∞
∑
n=
1
n
( )
∑ uk
( x)
< ∑ ak,
tai funkcijų eilutė konverguoja ir
k= n+
1 k= n+
1
∑ n ( )
[ ]
4 Pavyzdys. Įrodysime, kad eilutė u x konverguoja tolygiai aibėje
+∞
n=
1
E = 0,3 , jeigu
⎛ x ⎞
un
( x) : = ln⎜1 + .
3 ⎟
⎝ n n+
1 ⎠
Δ Kadangi ln ( 1 + t)
≤t,
x 3
kai t ≥ 0, tuomet un
( x) ≤ ≤
3
43
n n+
1 n
visiems x ∈ [ 0,3 ].
Tačiau skaičių
eilutė
+∞
3
∑ konverguoja, todėl, remiantis pakankamu tolygaus konvergavimo požymiu
43
n=
1 n
+∞
(Vejerštraso), tolygiai konverguoja ir funkcijų eilutė ∑ un
( x)
aibėje E = [ 0,3 ]. Δ
n=
1

Pastaba. Konverguojanti skaičių eilutė
vadinama mažoruojama eilute.
5 Pavyzdys. Įrodysime, kad funkcijų eilutė u ( x)
+∞
∑ a , n
tenkinanti sąlygą an( x) un( x) ,
n=
1
+∞
∑
n=
1
n
,
≥ kai
n≥
n , 0
⎧1 2 n+
1 ⎛ 1 1 ⎤
sin 2 π x, x∈ ⎜ , ,
n+
1 n
⎪n
⎝2 2 ⎦
⎥
un
( x)
: = ⎨
⎪ ⎡ 1 ⎤ ⎛ 1 ⎤
0, x ∈ ⎢0, ,1 ,
n+
1 ⎜ n
2 ⎥
∪
⎪ ⎣ ⎦ ⎝2
⎥
⎩
⎦
konverguoja tolygiai, tačiau neturi konverguojančios mažorantės.
⎛ 3 ⎞ 1
Δ Pastebėsime, kad max u
[ ]
n( x) = un⎜
.
x∈
0,1
n+
2 ⎟=
Užrašę eilutės dalinę sumą (pavaizduokite
⎝2
⎠ n
grafiškai ), gausime, kad eilutė konverguoja kiekviename taške x ∈ 0,1 į funkciją
S ( x )
[ ]
n
⎧1 2 n+
1 ⎛ 1 1 ⎤
sin 2 π x, x∈⎜
, , n ,
n+
1 n
n
2 2 ⎥ ∈
⎪ ⎝ ⎦
S( x)
: = ⎨
⎪ ⎡ 1 ⎤
0, x ∈{}
0 ∪ 0, .
⎪ ⎢ n+
1
2 ⎥
⎩
⎣ ⎦
⎡1
⎤
Kadangi ∀ ε > 0 ∃ n ε
: = ⎢ + 1
⎣ε
⎥ , ∀n≥ n ε
∀x
∈ [ 0,1 ],
tai
⎦
n
1 2 n+
2 1
sup S( x)
− ∑ uk
( x)
= sup rn( x)
= sup sin 2 π x = < ε.
x∈ 0,1 x∈ 0,1
x∈
0,1 n
n+
1
[ ]
Todėl eilutė
k = 1
+∞
[ ]
[ ]
∑ un
( x)
konverguoja tolygiai intervale [ 0,1 ] į funkciją S( x).
Tarkime an
–
n=
1
mažoruojančios eilutės nariai. Tuomet
a
n
[ 0,1]
( )
≥ sup u x . Bet
+∞
1 1
a n
≥ . Tačiau eilutė ∑ yra diverguojanti ir todėl funkcijų eilutė
n
n=
1 n
konverguojančios mažorantės. Δ
x∈
n
1
sup un
( x)
= , kai x = 3 ir
+ 2
x∈ n
[ 0,1]
+∞
2 n
∑ un
( x)
n=
1
neturi