Vektorių tiesinė priklausomybė.

UŽDAVINIAI1. Tegu x, y ,z – tiesiškai nepriklausomų vektorių sistema. Nustatykite, ar tiesiškaipriklausomos šios vektorių sistemos:a) x, x + y,x + y + z ; b) x + y, y + z,x + z ; c) x − y, y − z,z − x .2. Tegu r, s,v – skirtingi realūs skaičiai. Ar bus tiesiškai nepriklausoma ši daugianariųsistema:t − r t − s ; t − r t − v ; t − s t − v ?( )( ) ( )( ) ( )( )3. Duota daugianarių ( ) ( ) ( ) ( )f t = 1 − t , f t = 1 + t , f t = t − t , f t = 1+ t + t + t sistema.2 3 3 2 31 2 3 4Raskite šios sistemos daugianarių tiesinius darinius:a) 5 f1 + f2 − 4 f3; b) f1 + 9 f2 − 4 f4.Ar duotoji daugianarių sistema yra tiesiškai priklausoma?4. Nustatykite, ar vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma:4.1. a = 1, 2, 3 , 4.2. a = 1, i, 2 − i, 3 + i ,( ) ( )( ) ( )( 3, 7,11 ).( ) a ( )( 5, 3, 2, 1 ), a ( 1, 2, 2, 5, 6, 7 ),( 1, 0, 4, 4 ). a ( 3,1, 6, 2, 5, 9 ),a = ( 5,10,18, −7,10,15 ).1 1a = 2, 5, 7 , a = 1 − i,1 + i,1− 3 i, 4 − 2 i .a2 23=4.3. a = 2, 4, − 1, 3 , 4.4. = 2, 2, 4, −3,1, 2 ,aa1 1= = −2 2= − − =3 345. Nustatykite, su kuriomis λ reikšmėmis vektoriai a = (1, 1, 1), b = ( λ, 1, − 1), c = ( −1, 1, λ ) yratiesiškai nepriklausomi.6. Nustatykite, su kuriomis λ reikšmėmis vektoriai 2, x, x λ ( λ ∈ R ) yra tiesiškai priklausomivisiems x ∈ R .7. Patikrinkite, ar vektorių a1= ( 1, − 1, 0,1), a2= ( 2, 3, − 1, 0), a3= ( 4,1, − 1, 4)sistema yratiesiškai nepriklausoma. Ar šie vektoriai sudaro bazę erdvėjea = − ,2 ( 2, 4, 3)8. Patikrinkite, ar vektorių ( )13, 1,14R ?a = − , a = ( − ) , a = ( )31, 0, 441, 2, 03sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Kurie vektoriai sudaro bazę erdvėje R?9. Nustatykite, su kuriomis λ reikšmėmis vektoriai a = (1, 0, λ ), b = (1, 2,0), c = ( λ, 1,3)3sudaro erdvės R bazę.10. Raskite vektorių sistemos1, 2, 3,4a a a a bazę, kai a1 = ( 1 + i,1 − i, 2 + 3i) , a2 ( i,1, 2)= ( − − − − ) , a = ( − i + i)a3 1 i, 1 i, 3 2i44, 4 ,10 2= ,211. Tegu p ( x) = 1+x + α x , p ( x) = 1+α x + x 2, p ( x) = α + x + x 2, α ∈ R . Kokiai α1 2 3reikšmei ( α ≠ 1) vektoriai p1, p2,p3yra tiesiškai priklausomi erdvėje P ( t)? 2a = − , a2= ( − 2,1, 3), a3= ( 0,1, − 1). Raskite visas λ reikšmes su12. Duoti vektoriai ( )11, 2, 1kuriomis vektorius ( 1, , 2)13. Duoti vektoriai ( )11, 2, 3kuriomis vektorius ( 3, 1, 2)b = λ išreiškiamas vektorių a1, a2,a3tiesiniu dariniu.a = − , a = ( − λ ) , a = ( )20, 1,31, 0,1. Raskite visas λ reikšmes sub = − išreiškiamas vektorių a1, a2,a3tiesiniu dariniu.14. Nustatykite, ar sutampa nurodytų erdvių dimensijos:a) 〈 R 4 ; + | R 〉 ir 〈 M ( R);+ | R〉;237