Kvantinės mechanika - Vandeniliškųjų sistemų linijiniai spektrai

Kvantinės mechanika

Vandeniliškųjų sistemųlinijiniai spektraiIš tikro, visas atominio vandenilio spektro serijas galima užrašyti apibendrintaBalmerio formule:kai n=1, o m=2,3,4,… gaunama Laimano serija;kai n=2, o m=3,4,5,... – Balmerio serija;kai n=3, o m=4,5,6,... – Pašeno serija ir t.t.Didėjant m , visų vandenilio spektro serijų dažniai didėja ir artėja prie serijai būdingoribinio dažnio.Bet kurios spektro serijos kiekvienos linijos dažnį galima išreikšti atitinkamų dydžiųskirtumu:arba:kurie vadinami vandenilio atomospektriniais termais.

Atomo modeliai1897 m. anglų fizikas Džozefas Džonas Tomsonas atrado elektroną ir 1903 m. sukūrėpirmą atomo modelį (atomas – , “mažas rutuliukas” , “bandelė”).1911 m. anglų fizikas Ernestas Rezerfordas pasiūlė branduolinį atomo modelį. Pagal jįbeveik visa atomo masė ir visas teigiamas krūvis sukoncentruotas apie 10 − 15 mskersmens atomo branduolyje.Jo krūvis q = Ze ;čia Z – elemento eilės numeris periodinėje lentelėje, vadinamas atominiu skaičiumi.Apie branduolį 10 − 10 m atstumu skrieja elektronai, elektronų skaičius taip pat lygus Z.

Atomo modeliaiq =Ze;čia Z – elemento eilės numeris periodinėje lentelėje, vadinamas atominiu skaičiumi.Apie branduolį 10 − 10 m atstumu skrieja elektronai, kurių skaičius taip pat lygus Z .Pagal šį modelį elektronas, skriedamas apie branduolį, juda su įcentriniu pagreičiu.Ir pagal klasikinę elektrodinamiką, jis turi spinduliuoti elektromagnetines bangas, todėlelektrono energija turėtų palaipsniui mažėti.Jis turėtų spirale artėti prie branduolio ir ant jo nukristi.

Atomo modeliaiTačiau atomas patvarus.Taip judančio elektrono sukimosi dažnis, o kartu ir atomo spinduliavimo dažnis turėtųtolydžiai didėti, taigi spektras turėtų būti ištisinis.Tačiau tai prieštarauja eksperimentams.Klasikinė fizika nerado išeities.

Boro teorijaNilsas Boras (1885 – 1962)Šią problemą dalinai išsprendė danų fizikas Nilsas Boras.Jis suformulavo du postulatus.

Boro teorijaPirmasis Boro postulatas (stacionarių būsenų postulatas) teigia:egzistuoja tam tikros stacionarios atomo būsenos, kuriose jis nespinduliuoja.Tokios būsenos atomo elektronai juda tam tikromis stacionarinėmis orbitomis, ir jųenergija nekinta.N.Boras nurodė šių orbitų kvantavimo sąlygą:stacionarine orbita judančio elektrono impulso momentas m evr yra dydžio h/2πkartotinis, t.y.:atome judančio elektrono impulso momentas yra diskretus arba kitaip tariantkvantuotas dydis.n - vadinamas pagrindiniu kvantiniu skaičiumi.

Boro teorijaAntrasis Boro postulatas (dažnių postulatas) teigia:atomui pereinant iš vienos stacionarios būsenos į kitą, spinduliuojamas arbaabsorbuojamas vienas fotonas, kurio energija ε=hν lygi abiejų stacionariųbūsenų energijų skirtumui, t.y.:Ši lygtis vadinama Boro dažnių sąlyga.Kai W n>W m, fotonas išspinduliuojamas;jį sugeriant atomas pereina į didesnės energijos būseną.Už atomo teorijos sukūrimą 1922 m. N.Boras apdovanotas Nobelio premija.

Boro teorijaPritaikius klasikinę fiziką ir pirmąjį Boro postulatą,galima išvesti atomo stacionarių būsenų išraišką:Pritaikę šiai išraiškai antrąjį Boro postulatą, gausime stacionarių energijos būsenųskirtumą, kurį padalinę iš Planko konstantos, gausime fotono dažnį:pastaroji formulė sutampa su Balmerio formule.

Elektronų lygmenų kvantavimasVienatomių dujų absorbciniai ir emisiniai linijiniai spektrai tiesiogiai rodo kad, atomoenergija yra kvantuota.Atomo energijos būsenų kvantavimas yra elektronų kvantuotų būsenų pasekmė.Jeigu elektronai gali spinduliuoti tik griežtai nustatytos fotonų energijos kvantus,vadinasi jie yra stacionariose ir diskretinėse orbitose.

Elektronų lygmenų kvantavimas (video)

Elektronų lygmenų kvantavimas – Franko ir Herco bandymasBoro teoriją patvirtino Franko ir Herco eksperimentas (1913 m.), kuriuo buvo įrodyta,kad atomas gali sugerti tiktai tam tikrų dydžių energijas.Eksperimento esmė – elektroninio vamzdžio, pripildyto praretintomis dujomisvoltamperinė charakteristika.Katodui emituojant elektronus, srovė tolydžiai didėja.Kai elektronų energija E

Dvejopa mikrodalelių prigimtis. Elektronų difrakcijaK. Devisonas ir L. Džermeris pirmieji pastebėjo į nikelio monokristalo paviršiųkrintančių elektronų difrakciją.P.Tartakovskis bei H.Tomsonas stebėjo greitų elektronų difrakciją, jiems praeinant prolabai ploną ~1 µm metalo foliją.Nufotografuotas elektronų difrakcijos vaizdas vadinamas elektronograma.1929 m. I.Estermanas ir O.Šternas gavo helio atomų ir vandenilio molekulių difrakcijąličio fluorido monokristale.1936 m. H.Halbanas ir P.Preisverkas atrado neutronų difrakciją.

Elektronų difrakcija sudėtinguose kristaluose

Dvejopa mikrodalelių prigimtis. De Broilio hipotezė ir banga.Kiekviena dalelė pasižymi ir bangų, ir korpuskulų savybėmis (de Broilio hipotezė).Remdamasis šia hipoteze, de Broilis prilygino fotono (kaip energijos kvanto dalelės)energiją klasikinei dalelės kinetinės energijos išraiškai.2mv h22mv h2c2mv h2vIšdiferencijavę, abiejose pusėse gausime impulso išraiškas:ddtmv22ddthvmv dv2 h2 dt1 dv dtmv hp h hp B hp- dydis vadinamas de Broilio bangos ilgiu.

Dvejopa mikrodalelių prigimtis. De Broilio hipotezė ir banga.Taikant de Broilio bangos sąvoką ir bangos ilgį galima giliau paaiškinti ir Boroteoriją ir elektronų difrakciją.Boro teorijos 1 postulatas – elektronų lygmenų kvantavimas: h m e vr n 2 Tarkime hipotezę, kad elektronas kaip banginė dalelė gali judėti tik tokia apskritimineorbita, kai joje telpa sveikas de Broilio bangos ilgių skaičius. Tai yra:n B 2 rnhm ve 2 r h n 2 Gavome Boro atomo elektronų lygmenų išraišką.rmevTuo paaiškinamas elektronų lygmenų diskretiškumas.Tai viena iš kvantinės mechanikos sąlygų, nusakančių, kad elektronas atomoorbitoje gali užimti tik tokius lygmenis, kad orbitos ilgyje tilptų sveikaselektrono de Broilio bangų ilgių skaičius.Naudojant de Broilio bangą nesunkiai paaiškinama elektronų difrakcija.

Dvejopa mikrodalelių prigimtis. De Broilio hipotezė ir banga.

Dvejopa mikrodalelių prigimtis. De Broilio bangos savybėsKaip matome iš de Broilio bangos ilgio išraiškos, B hmvbangos ilgis priklausonuo dviejų parametrų: objekto masės ir judėjimo greičio.Dėl Planko konstantos mažos vertės visų makroskopinių dalelių, net ir mažiausių,banginės savybės nėra esminės.Makroskopinių objektų masė yra sąlyginai didelė, todėl de Broilio bangos ilgis yranykstamai mažas.Visai kitaip yra su mikrodalelėmis.Pvz.: elektrono de Broilio bangos ilgis jam judant greitinančiame potencialų skirtumeU=100 V, tai . λ=1.2225 Å. Tai – mažiau nei normalus nuotolis tarp atomų kristale.De Broilio bangos ilgis priklauso ir nuo greičio ir yra jam atvirkščiai proporcingas.

Dvejopa mikrodalelių prigimtis. De Broilio bangos savybės B Aprašyti elektronų bei neutronų bandymai buvo atliekami su jų pluoštais, todėl nebuvotiesiogiai atsakyta ar banginės savybės būdingos kiekvienai atskirai paimtaimikrodalelei.Atsakymas sekė iš 1949 m. V.Fabrikanto su bendradarbiais atlikto eksperimento.Jie, ilgą laiką leisdami į kristalą vieną po kito elektronus, gavo difrakcinį vaizdą, kurisnesiskyrė nuo vaizdo, gaunamo leidžiant vienu metu tą patį dalelių skaičių.hmvEksperimentinė kreivėSudėjus kreives teoriškai

Heizenbergo neapibrėžtumo sąryšis.Klasikinėje mechanikoje bet kokį makrokūno būseną galima aprašyti trimis padėtieskoordinatėmis x, y, z ir tuo pačiu metu nuo padėties priklausančiomis trejomis impulsoprojekcijomis p x, p y, p z.Mikrodalelių banginės savybės – difrakcija ir interferencija rodo mikrodalelių banginęprigimtį.De Broilio banga, tai nefizikinė banga, ji yra labai patogi matematinė priemonėneįprastoms mikrodalelių savybėms paaiškinti.De Broilio banga rodo tik dalelės aptikimo konkrečiame erdvės taške tikimybę.Kadangi padėties erdvėje tikimybė priklauso nuo judėjimo greičio, kvantinėjemechanikoje neįmanoma tiksliai nusakyti tuo pat metu mikrodalelės padėtį ir impulsą.Todėl, norint apibrėžti šiuos dinaminius dydžius, įvedami verčių intervalai, nurodantysatitinkamo dydžio įvertinimo tikslumą ir vadinami dydžio neapibrėžtumais.Koordinačių x verčių intervalą ∆x vadiname koordinatės x neapibrėžtumu.Analogiškai apibrėžiame impulso projekcijos p xneapibrėžtumą ∆p x B hmv

Heizenbergo neapibrėžtumo sąryšis.Išilgai ašies Oz judančio elektrono impulsas:Iki dalelė pasiekia ekraną E , jos impulso projekcijap x=0, t.y. turi tikslią vertę.Tikslaus dydžio neapibrėžtumas lygus 0, todėl ∆p x=0.Tačiau iš de Broilio bangos ilgioneapibrėžta, t.y. ∆x=∞. Bhptuo metu dalelės koordinatė x yra visaiDalelei praeinant pro plyšį, abu minėtų dydžių neapibrėžtumai vienu metu iš esmėspakinta: koordinatės x neapibrėžtumas sumažėja iki plyšio pločio ∆x vertės, o dėldalelės difrakcijos turimas dydžio p xtam tikro didumo ∆p xneapibrėžtumas.Difragavusių ilgio de Broilio bangųbrūkšninė kreivė. B hpintensyvumo pasiskirstymą vaizduoja

Heizenbergo neapibrėžtumo sąryšis.Didelė tikimybė, jog praėjusi pro plyšį dalelė toliaujudės 2α kampo intervale;čia α – pirmojo difrakcinio minimumo kampas.Tuomet dydžio p xneapibrėžtumas gali įgauti vertes iki: BhpIš plyšyje difragavusių (Fraunhoferio difrakcija) bangų pirmojo minimumosąlygos turime, kad:Šią išraišką įrašę į prieš tai gautą ir pritaikę de Broilio bangos formulę, gauname:kadangi maksimumų ir minimumų yra daugiau, p xyra visadadidesnis, nei gautas pagal pirmą minimumą.Lygtis virsta nelygybe:p xxhvadinama Heizenbergo neapibrėžtumo sąryšiuarba tiesiog – Heizenbergo nelygybe.Ji išreiškia fundamentalų kvantinės mechanikos principą, kadmikrodalelių būsenų, kurias tiksliai apibūdina impulsas, tuo pačiu laikomomentu neįmanoma tiksliai apibūdinti koordinatėmis, ir atvirkščiai.

Heizenbergo neapibrėžtumo sąryšis energijai ir laikui.Analogišką nelygybę galima parašyti dydžių y ir p y, z ir p zarba dar kai kuriųkitų dydžių, vadinamų kanoniškai jungtiniais dydžiais, poroms.p xxhp yxhp zxhFizikoje labai svarbi dar viena kanoniškai jungtinių dydžių pora – dalelės energija W irlaikas , kuriems Heizenbergo nelygybė užrašoma šitaip:W hIš šio sąryšio seka, kad dalelės energijos nustatymas tikslumu ∆W visuomet užtrunkalaiko tarpą, ne mažesnį kaip: hWSužadintų molekulių, atomų bei jų branduolių energija nėra griežtai apibrėžta, opasižymi tam tikru verčių intervalu ∆W , kuris vadinamas sužadintojo lygmensnatūraliuoju pločiu. Jeigu sužadintos būsenos gyvavimo vidutinė trukmė yra , tai josenergijos neapibrėžtumas yra ne mažesnis kaip:W h