Egzamino medžiaga (trumpas konspektas)

– 4 –WitWi t * e * e*(9.21)9.5. Šrėdingerio lygties taikymas laisvajai daleleiLaisvąja vadinama dalelė, kurios neveikia jėgų laukas, todėl jos potencinę energiją galime laikyti lygia 0. Jeigu tokiadalelė juda tik 0x ašies kryptimi, jos stacionarias būsenas aprašanti Šrėdingerio lygtis užrašoma taip:2d 2m W 0;(9.22)2 2dx Šią lygtį tenkina funkcijos 1 A sin kx ir 2 B cos kx. (9.23)čia A ir B – tam tikros konstantos, k – taip pat konstanta, priklausanti nuo dalelės energijos:2mWk .(9.24)Funkcijos 1ir 2yra (9.22) lygties daliniai sprendiniai. (9.22) lygties bendrasis sprendinys lygus jų sumai:~ ikx ~ ikx A sin kx + B coskx; arba Ae Be ,( 9.25 )čia A ~ ir B ~ nuo A ir B priklausančios kompleksinės konstantos. Laisvąją dalelę aprašanti banginė funkcija gali būti užrašytataip: W itkx ~ W itkx ~ Ae Be . (9.26)WŠi lygtis aprašo plokščią arba vienmatę monochromatinę bangą, kurios de Broilio bangos dažnis , o k - josbangos skaičius. Pirmasis narys aprašo bangą, sklindančią Ox kryptimi, antrasis narys atitinka tokią pačią, tik priešingoskrypties bangą. Taigi, laisvoji dalelė aprašoma plokščiąja monochromatine banga, be to, dalelės energija nekvantuota, nes(9.26) turi prasmę bet kurioms teigiamoms energijos W vertėms.9.6. Šrėdingerio lygties taikymas dalelei potencialo duobėje. Energijos diskretiškumasDalelės potencinė energija priklauso nuo jos koordinačių. Kai ši energija, kintant dalelės padėčiai erdvėje, yra minimali,sakoma, jog dalelė yra potencialo duobėje. Pavyzdžių galima rasti ir klasikinėje mechanikoje. Pavyzdžiui, kiekvienamechaninė svyravimų sistema tam tikroje padėtyje turi minimalią potencinę energiją. Į tokios sistemos svyravimą galimažiūrėti kaip į ją sudarančių kūnų judėjimą potencialo duobėje.Panagrinėkime situaciją, kai dalelė gali judėti tik 0x ašies kryptimi, tačiau jos judėjimą riboja nelaidžios sienelės, kuriųkoordinatės x = 0 ir x = l (4 pav.).Laikysime, kad dalelės potencinė energija lygi nuliui, kai0 x l , ir begalybei, kai xl. Nagrinėjamuoju atvejudalelės energija priklauso tik nuo koordinatės x, o nuo laikonepriklauso, todėl jai galima taikyti ( 9.22 ) lygtį ir jos sprendinį( 9.25 ). Dalelė iš potencialo duobės išeiti negali, todėl tikimybėdalelę rasti duobės išorėje lygi nuliui. Vadinasi, duobės išorėjex2dydis 0.Kadangi banginė funkcija yra tolydinė, tai lygi0lnuliui ji turi būti ir duobės kraštuose ( ( 0) 0; ( l) 0.) Pirmoji4 pav.sąlyga ( 0) Asink 0 B cos k 0 0 tenkinama tada, kaikoeficientas B 0.Taigi, sprendinys supaprastėja: ( x) Asinkx;(9.27)Antroji sąlyga ( l) Asinkl 0 tenkinama tada, kai kl n, n 1, 2, 3...Matome, kad l pločio potencialo duobėjeesančią dalelę aprašantis bangos skaičius k gali turėti tik tam tikras vertes:nk . (9.28)lIš (9.24) ir (9.28) seka, kad tokios dalelės energija yra kvantuota.:2 2 2W n n .(9.29)22mlKvantuotos energijos vertės vadinamos energijos lygmenimis. (9.28) ir (9.29) lygtyse esantis koeficientas n (visadasveikasis skaičius) vadinamas kvantiniu skaičiumi. Jis nusako dalelės būsenos energiją. Iš (9.27) ir (9.28) gauname dalelėsbanginę funkciją:nn Asin x.(9.30)lBanginės funkcijos amplitudę A surandame iš normuotumo sąlygos (9.15), kuri šiuo atveju užrašoma taip:W pW p =∞ W p =0 W p =∞