Pirmos eilės diferencialinės lygtys. Pagrindinės sąvokos. Koši ...

Pirmos eilės diferencialinės lygtys.Pagrindinės sąvokos.Koši uždavinys.Diferencialinės lygtys su atskiriamaiskintamaisiais, homogeninės lygtys.1

Diferencialinės lygties ir jos sprendinio sąvokosAp. Diferencialine lygtimi vadinama lygtis, siejanti nepriklausomąkintamąjį x, ieškomąją funkciją y ir jos išvestines y ′ , y ′′ , … , y n .Diferencialinės lygties bendrasis pavidalas yraF x, y, y ′ , y ′′ , … , y n = 0.Lygtis, kurią galima išspręsti išvestinės y n atžvilgiu, dar užrašoma irtaip:y n = f(x, y, y ′ , … , y n−1 )Jeigu ieškomoji funkcija yra tik vieno kintamojo x funkcija, taidiferencialinė lygtis vadinama paprastąja.Dif. lygtis, siejanti nežinomą kelių kintamųjų funkciją ir jos dalinesišvestines, vadinama dalinių išvestinių dif. lygtimi.x ∂z ∂z= y∂x ∂y2

Ap. Dif. lygties eile vadinama aukščiausios eilės išvestinės, esančiostoje lygtyje, eilė.Pvz.• y ′ − x = 0 – pirmos eilės diferencialinė lygtis• y ′′ + y ′ + y + x = 0• y IV + y ′ + xe x = 03

Išspręsti dif. lygtį reiškia rasti nežinomą funkciją y = y x .Ap. Dif. lygties sprendiniu (arba integralu) vadinama funkcijay = y x , tinkanti tai lygčiai.Funkcija y = y x turi būti n kartų tolydžiai diferencijuojama.Diferencialinės lygties kiekvieno sprendinio y = y x grafikas xOyplokštumoje yra kreivė, kuri vadinama integraline dif. lygties kreive.Diferencialinės lygties sprendimo procesas vadinamas tos lygtiesintegravimu.4

Pirmos eilės diferencialinės lygtys. Koši uždavinysNagrinėkime lygtįF x, y,y' 0arbay ' f x,yši lygtis turi be galo daug sprendinių. Dažnai,diferencialinių lygčių teorijoje, reikia rasti lygtiesy ' f x,ysprendinį y yx, tenkinantį sąlygąyx 0 y0(arba y y0, kai x x0;čia x , y 0 0- realieji skaičiai.arba yx x 0 y0Ši sąlyga vadinama pradine sąlyga,o pats uždavinys – Koši uždaviniu.)6

ApibrėžimasPirmos eilės diferencialinės lygties y ' f x,ybendruoju sprendiniu vadinama funkcijay x,C, priklausanti nuo laisvosios konstantosC ir tenkinanti šias sąlygas: Su bet kuria konstantos C reikšme ji tinkadiferencialinei lygčiai y ' f x,y Kad ir kokios būtų pradinės sąlygosyx 0 y0, visada galima rasti tokiaparametro C reikšmę C 0 , su kuria funkcijay x,C 0 tenkintų tas pradines sąlygas.Kartais diferencialinės lygties sprendinys užrašomastaip: x, y,C 0 . Toks sprendinys vadinamasbendruoju diferencialinės lygties integralu.7

Atskiruoju diferencialinės lygties y ' f x,ysprendiniu vadinamas sprendinys, kuris gaunamas išbendrojo sprendinio su kuria nors konstantos Creikšme C 0 .Analogiškai iš bendrojo integralo x, y,C 0gautas atskirasis sprendinys vadinamas atskiruojuintegralu.8

Apibrėžimas Lygties sprendinys y x , kurio negalima gautiiš bendrojo sprendinio nė su viena konstanta Creikšme vadinamas ypatinguoju tos lygtiessprendiniu.9

Teorema (apie Koši sprendinio egzistavimą ir vienatį)Tarkime, kad funkcija xyf , apibrėžta, tolydi irfturi tolydžią išvestinę tam tikroje plokštumosyxOy srityje D, kuriai priklauso taškas x 0, y 0.Tuomet yra taško0V x 0, kuriojeegzistuoja vienintelis diferencialinės lygtiesy ' f x,ysprendinys y x, tenkinantisy x 0 y .x aplinka duotąsias pradines sąlygas 010

Pvz.y'2x11

Diferencialinės lygtys su atskiriamaisiais kintamaisiaisApibrėžimasPirmosios eilės diferencialinė lygtisM1xN1ydx M2xN2ydy 0 (1)Vadinama lygtimi su atskiriamaisiais kintamaisiais;čia x N y;M x N yM1 ;1 2;2- tolydžios tamtikruose intervaluose funkcijos.Tarkime, kad M x 0 ir y 0intervaluose.2N tuose1Padalinkime (1) lygties abi lygybės puses išM2xN1ygauname12

MMxx1yy1 2dx dy 2NN0. (2)Šią lygtį vadiname lygtimi su atskiriamaisiaiskintamaisiais.Perkelkime antrąjį (2) lygybės narį į kitą lygybėspuse:M1xN2ydx M x N y2 1 dyKadangi tai dviejų diferencialų lygybė, tai jųneapibrėžtiniai integralai skiriasi tik konstanta:M xN y1dx 2dy CM x N y2 1 13

Pvz.12xyyy' ; y' xy2 2xy; ln y 0yy'y 2 1, kai14

Homogeninės diferencialinės lygtysApibrėžimasFunkcija xyf , vadinama kintamųjų x ir y m – ojomatavimo homogenine funkcija, jeifmtxty t f x,y, , t R63 2 2 2xPvz. f x,y x y y x yra 4 – ojo2ymatavimo homogeninė funkcija, nes6 63 3 2 2 2 2 2tx 4f tx,ty t x ty t y t x t f x,y2 2t y15

ApibrėžimasDiferencialinė lygtisP x, ydx Qx,ydy 0 (1)kurios P x, yir Q x, yyra to paties matavimohomogeninės funkcijos, vadinama pirmosios eilėshomogenine diferencialine lygtimi.Padalinę abi (1) lygybės puses iš Q x, y 0dy Px,ygauname dx Qx,yKadangi funkcijos P x, yir xyQ , yra to patiesmatavimo homogeninės funkcijos tai jų santykisPx,ybus nulinio matavimo homogeninėQx,yfunkcija.16

Pažymėkime gxyP x,, Q x,Gaunamey ' gx,y,čia g x, yyra nulinio matavimo homogeninėfunkcija.0tx,ty t gx,y gxyg , .1Parinkime keitinį t , kai x 0 . Tada funkcijaxg x, y atrodys taip:yg , x x,y g 1 yy17

Bei y y ' g1, x Ši diferencialinė lygtis sprendžiama naudojantkeitinįy u arba y ux .xIš čia gaunamey' u'x uTada pati diferencialinė lygtis bus: u ' x u g1, uarbau'x g 1,u uŠi lygtis yra lygtis su atskiriamaisiais kintamaisiais:dux g1, uudxGalutinai gauname, tardami, kad g 1 , u u 0 :du dxg 1, u u xSuintegravę abi lygybės puses turėsime sprendinįdu dx g 1, u u x 18

Pvz.:• y 2 + x 2 y ′ = xyy′• xy ′ = y 1 + ln y x; y 1 = e −1 219