Fragmenti no jaunās grāmatas - Zvaigzne ABC

3.5. Definīcijas, aksiomas, teorēmas matemātikā
Matemātika, tāpat kā citas zinātnes, ir veidota pēc zināmas shēmas;
tās galvenās sastāvdaļas ir pamatjēdzieni, aksiomas,
definīcijas un teorēmas.
1. Vispirms uzskaita pamatjēdzienus, kurus nedefinē.
Piemēram, planimetrijas pamatjēdzieni ir punkts, taisne, attālums
starp punktiem, bet stereometrijas pamatjēdzieni ir punkts, taisne,
plakne un attālums starp punktiem.
2. Formulē aksiomas; tās ir pamatatziņas, kas izsaka pamatjēdzienu
svarīgākās īpašības, kuras pieņem bez pierādījuma.
Piemēram, visiem zināma šāda planimetrijas aksioma:
“Katra taisne satur bezgalīgi daudz punktu”.
3. Lietojot pamatjēdzienus, aksiomas un arī jau iepriekš definētos
jēdzienus, pakāpeniski definē jaunus jēdzienus. Tātad
definīcija ikvienā zinātnē atklāj jauna jēdziena būtību.
Piemēram, jēdziena “paralelograms” definēšanai tiek lietots plašāks
jēdziens “četrstūris”, papildinot to ar nosacījumu “ik divas
pretējās malas ir paralēlas”.
4. Pamatojoties uz definīcijām un aksiomām, pierāda teorēmas.
Teorēma ir salikts izteikums jeb apgalvojums, kura patiesumu
pamato ar pierādījumu. Teorēmās tiek aptverti visi kādas
matemātiskas teorijas pamatfakti. Tāpēc teorēmu pierādīšana
vienmēr ir viens no matemātikas pamatuzdevumiem.
Parasti katra teorēma ir dota (formulēta) implikācijas formā,
kur no patiesa izteikuma A seko patiess izteikums B.
Tātad teorēmu simboliski var pierakstīt šādi:
A Þ B.
Teorēmas formulējumā ir divas noteicošās daļas:
• Teorēmas nosacījums, kuru izsaka izteikums A.
• Teorēmas secinājums, kuru izsaka izteikums B.
Piemēri
1 Ja paralelograma viens leņķis ir taisns, tad paralelograms
ir taisnstūris.
A – “paralelograma viens leņķis ir taisns”
B – “paralelograms ir taisnstūris”
2 Ja viena trijstūra divi leņķi ir vienādi ar cita trijstūra diviem
leņķiem, tad abi trijstūri ir līdzīgi.
3 Ja naturāla skaitļa ciparu summa dalās ar 9, tad pats skaitlis dalās
ar 9.
Atceries!
Planimetrija ir mācība par plaknes
figūrām, bet stereometrija – mācība
par telpas figūrām.
Aksioma – no grieķu val. vārda
axioma – acīmredzama patiesība.
Gan planimetrijā, gan stereometrijā
ir ne viena vien, bet pat vesela
aksiomu sistēma.
Ikviena aksiomu sistēma ir
izveidota tā, lai tā būtu pilnīga,
neatkarīga un nepretrunīga.
Definīcija – no latīņu val. vārda
definitio – noteikšana.
Atceries!
Implikācija A Þ B ir salikts
izteikums “ja A, tad B”
jeb “no A seko B”.
96