Fragmenti no jaunās grāmatas - Zvaigzne ABC

Paralelograma likums
Ja diviem nekolineāriem vektoriem ir kopīgs sākumpunkts,
tad par abu vektoru summu sauc vektoru, kurš sākas to kopīgajā
sākumpunktā un sakrīt ar tāda paralelograma diagonāli,
kura malas ir abi dotie vektori.
Šo vektoru saskaitīšanas paņēmienu sauc par paralelograma
likumu.
7. att. vektoru a
un b summa ir vektors c :
a + b = c .
Arī saskaitot pēc trijstūra likuma, vektoru a un
pats vektors c
. Patiešām: tā kā AC = OB = b , tad
a + b = OA + AC = OC = c .
b summa ir tas
Tāpēc abi saskaitīšanas paņēmieni – trijstūra likums un
paralelograma likums – ir līdzvērtīgi.
b
b
a
B
c = a + b
O
a
A
7. att. Paralelograma likums
Vektoru summas īpašības
1 Jebkuriem diviem vektoriem
a un b ir spēkā vienādība
a + b = b + a
(komutatīvā īpašība).
2 Jebkuriem trim vektoriem
a , b , c ir spēkā vienādība
( a + b ) + c = a + ( b + c
)
(asociatīvā īpašība).
C
Daudzstūra likums
Vairāku vektoru summu var iegūt šādi: pie pirmā vektora pieskaitīt
otro vektoru, pie abu vektoru summas pieskaitīt trešo vektoru
utt.
Piemēram, 8. att. ir attēlota vektoru
a = AB
, b = BC ,
c = CD ,
d = DE summa.
Ievērojot vektoru summas īpašības, saskaitīšanu var veikt
jebkurā secībā.
Praktiski vairākus vektorus saskaita šādi: no dotajiem
vektoriem izveido lauztu līniju, atliekot tos secīgi tā, ka
viena vektora galapunkts sakrīt ar nākamā sākumpunktu.
Savienojot pirmā vektora sākumpunktu ar pēdējā vektora
galapunktu, iegūst šo vektoru summu. (9. att.)
A
a + b
c
b
a
d
C
c
b
D
B
d
a
(( a + b) + c) + d
8. att.
a + b + c + d = AE jeb
AB + BC + CD + DE = AE .
E
Šo vairāku vektoru summas konstruēšanas paņēmienu sauc par
daudzstūra likumu.
Piemēram, saskaitīsim tos pašus 8. att. dotos vektorus
abcd , , ,
pēc daudzstūra likuma (9. att.).
Salīdzinot 8. un 9. attēlā iegūtos rezultējošos vektorus AE
,
redzam, ka tie ir vienādi.
A
C
c
b
D
B
d
a
9. att. Daudzstūra likums
E
7

Aprēķināsim dažus virknes locekļus, sākot ar trešo:
a 3
= a 2
+ a 1
= 1 + 1 = 2
a 4
= a 3
+ a 2
= 2 + 1 = 3
a 5
= a 4
+ a 3
= 3 + 2 = 5
a 6
= a 5
+ a 4
= 5 + 3 = 8
a 7
= a 6
+ a 5
= 8 + 5 = 13
a 8
= a 7
+ a 6
= 13 + 8 = 21
a 9
= a 8
+ a 7
= 21 + 13 = 34 utt.
Iegūstam skaitļu virkni
(1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; …).
Šo skaitļu virkni sauc par Fibonači skaitļu virkni, un tās
locekļus – par Fibonači skaitļiem.
Leonardo Fibonači (ap 1175 –
ap 1250) – itāļu matemātiķis
Fibonači virknes īpašība. Zelta griezums
Ja Fibonači skaitļu virknē (1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; …) aplūko
ikviena skaitļa (sākot ar trešo) attiecību pret nākamo skaitli, iegūst
daļas
2 3
3
; 5 8
5
; 13 21
8
; 13
; 21
; 34
; .
Savukārt, ja katru skaitli dala ar iepriekšējo, tad iegūst daļas
3 5
2
; 8 13
3
; 21 34
5
; 8
; 13
; 21
; .
Aprēķinot šo daļu tuvinātās vērtības arvien tālāk no virknes
sākuma, var secināt, ka Fibonači skaitļu virknē katrs skaitlis ir 1,618
reizes lielāks nekā iepriekšējais, bet katrs iepriekšējais ir 0,618 no
nākamā.
Šie skaitļi saistās arī ar zelta griezuma teoriju.
Zelta griezums jeb harmoniskā dalīšana nozīmē, ka
nogriezni AB (3. att.) sadala divās daļās tā, ka nogriežņa lielākā
daļa AC ir vidējais proporcionālais starp visu nogriezni
AB = a un tā īsāko daļu CB, t. i.,
AB
AC
= AC a x
CB
jeb x
= a - x
.
Algebriski zelta griezuma noteikšana reducējas uz vienādojuma
a x
x
= a - x
; x2 = a(a – x); x 2 + ax – a2 = 0 atrisināšanu.
( 5 -1)
a
Vienādojuma sakne x = » 0,
618 a , un tātad attiecība
2
x
a = 5 - 1 »
2
0, 618 .
A
1,618 × 0,618 ≈ 1
Šādus skaitļus sauc
par antipodiem.
Izrādās, ka abi skaitļi 1,618
un 0,618 ir vienīgie absolūtie
antipodi aritmētikā!
x
a
D
C
3. att.
a – x
E
B
a
2
191

y = ctg x galvenās īpašības.
1 D = (0 + p × k; p + p × k), k.
2 E = (–¥; +¥), turklāt funkcijai y = ctg x neeksistē vislielākā
vērtība un neeksistē vismazākā vērtība.
3 y = ctg x ir periodiska funkcija; tās periods ir p.
4 y = ctg x ir nepāra funkcija; grafiks ir simetrisks attiecībā pret
koordinātu sākumpunktu.
æ
5 Intervālos p ö
0 + p × k; + p × k kotangensa funkcijas vērtības
èç
2 ø÷
æ p
ir pozitīvas, bet intervālos
p p p
èç
2 + × + ×
ö
k; k – negatīvas.
ø÷
p
6 Punktos + p ×k kotangensa funkcijas vērtība ir 0; šajos
2
punktos grafiks krusto Ox asi.
7 Intervālos (0 + p × k; p + p × k) kotangensa funkcija ir monotoni
dilstoša.
ctg (a + 180° × k) = ctg a
ctg (a + p × k) = ctg a
y = ctg x ir nepāra funkcija
6.14. Trigonometrisko funkciju vērtību tabula
No pamatskolas ģeometrijas kursa ir zināmas trigonometrisko
funkciju vērtības 30°, 45° un 60° leņķiem. Papildināsim šo vērtību
tabulu, ietverot tajā arī 0°, 90°, 180°, 270°, 360° leņķus.
a
Funkcija sin a cos a tg a ctg a
0° (0) 0 1 0 nav def.
æ p ö
30°
1
3 3
èç
6 ø÷
2
2 3
3
æ p ö
45°
èç
4 ø÷
æ p ö
60°
èç
3 ø÷
æ p ö
90°
èç
2 ø÷
2
2
3
2
2
2
1
2
1 1
1 0 nav def. 0
180° (p) 0 –1 0 nav def.
æ 3p
ö
270°
èç
2 ø÷
–1 0 nav def. 0
360° (2p) 0 1 0 nav def.
3
3
3
Piezīmes
Augošā secībā uzrakstītiem
I kvadranta leņķiem
0°, 30°, 45°, 60°, 90°
sinusa funkcijas vērtības var
viegli iegaumēt, ja tās pieraksta
šādi:
0 1 2 3 4
; ; ; ; .
2 2 2 2 2
Analogi var pierakstīt arī
tangensa funkcijas vērtības
leņķiem 0°, 30°, 45°, 60°:
0
3
; 3 9 27
3
; 3
; 3
.
182

Saknes un to īpašības.
Kāpinātāja jēdziena paplašinājums
5.1. n-tās pakāpes sakne
Saknes atrašana jeb saknes vilkšana ir apgriezta darbība
kāpināšanai.
Pamatskolā jau definējām kvadrātsakni un kubsakni (trešās pakāpes
sakni):
a = b , ja b 2 = a (a 0);
3
a
= b , ja b 3 = a.
Līdzīgi definē skaitļa n-tās pakāpes sakni – kā apgriezto darbību
kāpināšanai n-tajā pakāpē (n Î ; n 2).
n-tās pakāpes sakni no skaitļa a apzīmē ar simbolu
n
a
Par skaitļa a n-tās pakāpes sakni sauc tādu skaitli b, kas,
kāpināts n-tajā pakāpē, ir vienāds ar skaitli a.
Tātad
n
zemsaknes skaitlis
saknes rādītājs
a
kur n = 2, 3, 4, ...
= b , ja b n
= a,
sakne
.
Atceries!
Pakāpi pieraksta šādi:
a n
= b ,
kur a – bāze,
n – kāpinātājs ( n Î ),
b – pakāpe
visu izteiksmi a n arī sauc par
pakāpi.
Pakāpes a n aprēķināšanu sauc par
kāpināšanu:
ja n = 2 – par kāpināšanu kvadrātā;
ja n = 3 – par kāpināšanu kubā;
ja n = 4 – par kāpināšanu ceturtajā
pakāpē. ...
Pierakstu
3 a lasa kubsakne no a,
pierakstu
4 a lasa ceturtās pakāpes
sakne no a,
...
Piemēri
1 025 , = 0,5, jo 0,5 2 = 0,25
3
2 -125
5
3 -32
= –5, jo (–5) 3 = –125
= –2, jo (–2) 5 = –32
4
4 -16 nav reāls skaitlis, jo, jebkuru reālu skaitli kāpinot pāra
pakāpē, iegūst nenegatīvu skaitli.
4
5 81
= 3, jo 3 4 = 81
Vispārīgā gadījumā – atkarībā no saknes rādītāja n – izšķir divus
gadījumus:
• n ir pāra skaitlis, t. i., n = 2k un jāaprēķina
2 k a ;
2k+
1
• n ir nepāra skaitlis, t. i., n = 2k + 1 un jāaprēķina a .
133

Uzdevumi
4.1. Aprēķināt sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības šādiem leņķiem:
a) 120°; b) 135°; c) 150°.
4.2. Noteikt leņķi j, ja 0° j 180°.
a) cos j= 3
2
b) cos j=- 2
2
c) tg j=- 3
3
d) sin j= 1 2
4.3. Izteikt ar šaurā leņķa palīdzību.
a) sin 170° b) cos 148° c) tg 128° d) ctg 115°
e) sin j = 3
2
4.4. Sakarības taisnleņķa trijstūrī
Taisnleņķa trijstūrī katete ir vidējais proporcionālais starp
hipotenūzu un šīs katetes projekciju uz hipotenūzas.
Taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts no taisnā leņķa
virsotnes, ir vidējais proporcionālais starp katešu projekcijām
uz hipotenūzas.
Dots (13. att.): ∆ACB, ÐC = 90°
h c
– augstums, kas novilkts pret hipotenūzu,
a c
– katetes a projekcija uz hipotenūzu c,
b c
– katetes b projekcija uz hipotenūzu c.
Jāpierāda: a 2 = c · a c
; b 2 = c · b c
; h 2
= a × b
c c c
Pierādījums
Izmantosim trijstūru līdzību.
Tā kā ∆CBD ~ ∆ABC un ∆ACD ~ ∆ABC, tad
116
Atceries!
Ja starp nogriežņiem x, y un z pastāv
sakarība x y
= (*), tad saka,
y z
ka y ir vidējais proporcionālais
jeb vidējais ģeometriskais.
Sakarību (*) var uzrakstīt arī šādi:
y 2 = x · z jeb y
A
b
= x× z .
C
b c
h c
a c
a
c D
2
a
b
cac
cb
2
2
b
ac
2
b
. 13. att.
a
a
= ; a 2 = ca
a c
c
; a = ca c
; bc b
= ; b 2 = cb
b c
c
; b = cb c
.
Tā kā ∆ACD ~ ∆CBD, tad
b h
c c
= ; h 2
= a b ; h = ab
c c c
h a
c c
.
c c
Secinājums
Taisnleņķa trijstūrī katešu kvadrāti attiecas tāpat kā šo
katešu atbilstošās projekcijas uz hipotenūzas.
Patiešām, izdalot sakarības a 2 = c ·a c
un b 2 = c · b c
, iegūstam
c
c
B

3.5. Definīcijas, aksiomas, teorēmas matemātikā
Matemātika, tāpat kā citas zinātnes, ir veidota pēc zināmas shēmas;
tās galvenās sastāvdaļas ir pamatjēdzieni, aksiomas,
definīcijas un teorēmas.
1. Vispirms uzskaita pamatjēdzienus, kurus nedefinē.
Piemēram, planimetrijas pamatjēdzieni ir punkts, taisne, attālums
starp punktiem, bet stereometrijas pamatjēdzieni ir punkts, taisne,
plakne un attālums starp punktiem.
2. Formulē aksiomas; tās ir pamatatziņas, kas izsaka pamatjēdzienu
svarīgākās īpašības, kuras pieņem bez pierādījuma.
Piemēram, visiem zināma šāda planimetrijas aksioma:
“Katra taisne satur bezgalīgi daudz punktu”.
3. Lietojot pamatjēdzienus, aksiomas un arī jau iepriekš definētos
jēdzienus, pakāpeniski definē jaunus jēdzienus. Tātad
definīcija ikvienā zinātnē atklāj jauna jēdziena būtību.
Piemēram, jēdziena “paralelograms” definēšanai tiek lietots plašāks
jēdziens “četrstūris”, papildinot to ar nosacījumu “ik divas
pretējās malas ir paralēlas”.
4. Pamatojoties uz definīcijām un aksiomām, pierāda teorēmas.
Teorēma ir salikts izteikums jeb apgalvojums, kura patiesumu
pamato ar pierādījumu. Teorēmās tiek aptverti visi kādas
matemātiskas teorijas pamatfakti. Tāpēc teorēmu pierādīšana
vienmēr ir viens no matemātikas pamatuzdevumiem.
Parasti katra teorēma ir dota (formulēta) implikācijas formā,
kur no patiesa izteikuma A seko patiess izteikums B.
Tātad teorēmu simboliski var pierakstīt šādi:
A Þ B.
Teorēmas formulējumā ir divas noteicošās daļas:
• Teorēmas nosacījums, kuru izsaka izteikums A.
• Teorēmas secinājums, kuru izsaka izteikums B.
Piemēri
1 Ja paralelograma viens leņķis ir taisns, tad paralelograms
ir taisnstūris.
A – “paralelograma viens leņķis ir taisns”
B – “paralelograms ir taisnstūris”
2 Ja viena trijstūra divi leņķi ir vienādi ar cita trijstūra diviem
leņķiem, tad abi trijstūri ir līdzīgi.
3 Ja naturāla skaitļa ciparu summa dalās ar 9, tad pats skaitlis dalās
ar 9.
Atceries!
Planimetrija ir mācība par plaknes
figūrām, bet stereometrija – mācība
par telpas figūrām.
Aksioma – no grieķu val. vārda
axioma – acīmredzama patiesība.
Gan planimetrijā, gan stereometrijā
ir ne viena vien, bet pat vesela
aksiomu sistēma.
Ikviena aksiomu sistēma ir
izveidota tā, lai tā būtu pilnīga,
neatkarīga un nepretrunīga.
Definīcija – no latīņu val. vārda
definitio – noteikšana.
Atceries!
Implikācija A Þ B ir salikts
izteikums “ja A, tad B”
jeb “no A seko B”.
96

8.3. Racionālu daļu pārveidošana
Veicot racionālu daļu pārveidojumus, bieži nepieciešams saīsināt
doto daļu.
Lai saīsinātu doto daļu, tās skaitītāju un saucēju sadala
reizinātājos.
Piemēri
2
x - 9
1 Saīsināsim daļu
2
x - 4x
+ 3
.
Dotā daļa ir definēta, ja x 2 – 4x + 3 ≠ 0, t. i., x ≠ 1, x ≠ 3.
Tātad daļas definīcijas apgabals ir
x Î( -¥; 1) È( 1; 3) È (; 3 +¥ ).
Šajā apgabalā arī varam daļu pārveidot, to saīsinot:
2
x - 9 x 3 x 3
2
x - 4x
+ 3
= ( - )( + )
( x -1)( x - 3)
= x + 3
x - 1 .
Pirmās divas daļas nav definētas, ja x = 1 un x = 3, bet
pēdējā daļa nav definēta tikai tad, ja x = 1. Tātad pāreja no
otrās uz pēdējo daļu (un otrādi) iespējama, ja x ≠ 3. Parasti
to speciāli neuzsver, jo pārveidojumus veic abu daļu kopīgajā
definīcijas apgabalā.
2 Saīsināsim daļu 7 x - 35
15 - 3x
.
Ja 15 – 3x ≠ 0, t. i., x ≠ 5, tad
7x
- 35 7( x - 5)
7 x 5
=
15 - 3x
35- x
=- ( - )
( ) 3( x - 5)
= - 7 3 .
Ja daļas saskaita vai atņem un to saucēji nav vienādi, tad
vispirms saucēji jāvienādo.
Atceries!
Daļas vērtība nemainās, ja maina
zīmes uz pretējām
1) daļas skaitītājam un saucējam;
2) daļas skaitītājam vai saucējam
un daļas priekšā.
a a
b
= - a a
- b
=-- b
=- -b
Piemēri
1 5 xy 15 xy + 15
1 + = + =
3x
xy
2 3xy
2 3xy
2 3xy
2
2
2
x + y x y x y x y
- + = + 2
- +
x x - y x - xy x x - y xx- y
=
2
( )
( x
= + y)( x - y)
- x + y x
= - y - x + y
=
xx ( - y) xx ( - y) x( x - y)
= 0
-y 2 - x 2 + y
2 =
0
xx ( - y) x( x - y)
= 0
2 2 2 2 2 2 0
a
b
c ad + bc
+ =
d b×
d
Daļu reizinājums ir daļa, kuru iegūst, sareizinot doto daļu
skaitītājus un sareizinot doto daļu saucējus.
Dalot divas daļas, pirmo daļu reizina ar otrās daļas apgriezto
daļu.
a
b
a
b
× c
d
= × ×
a c
b d
: c a
d
= b
×
d
c
220