85-5 - Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

In oktober 2008 kreeg ik, na een ontmoeting
met kunstenaar Henk Verbeek, cd’s met het
fotoarchief, dat een overzicht gaf van zijn
diverse werk. Ik werd vooral getroffen door
het werk uit zijn ‘Geometrisch-abstracte
periode’ (1975-1995). Een vorm die telkens
weer gebruikt werd, was het viervlak,
bestaande uit 4 driehoeken, 4 hoekpunten
en 6 ribben. Dit artikel begint met het
geven van een aantal voorbeelden van deze
‘viervlakskunst’.
Naast esthetische waardering werd mijn
denken aangesproken met vragen als: hoe
zit het in elkaar, met welke regelmaat, welke
eigenschappen, hoe heeft ‘ie het bedacht,
met welke wiskundige gereedschappen, en
waarom het viervlak? Ook riep het werk
allerlei wiskundige vragen op, waarvoor ik
met tekeningen en berekeningen
oplossingen zocht.
Dit leidde tot een aantal praktische
opdrachten voor eerstejaars studenten van
de tweedegraads lerarenopleiding wiskunde
in het kader van een cursus, waarbij de
ruimtemeetkunde van havo-B en havo-D
herhaald en uitgebouwd wordt. Ik hoop
met dit artikel dan ook wiskundeleraren te
inspireren.
Verder vroeg ik me af in hoeverre dergelijke
wiskundige vragen ook bij de kunstenaar
een rol speelden: wat waren zijn uitgangspunten,
welke werkwijze en wiskundige
gereedschappen waren voor hem essentieel?
Ik had daarover een uitvoerig gesprek met
hem. Een aantal antwoorden op de gestelde
vragen zijn in het artikel terug te vinden.
Het artikel eindigt met een meer algemene
beschouwing over het raakvlak van kunst
en wiskunde en over de verschillende
activiteiten van een wiskundige en een
kunstenaar.
Ik werd geïmponeerd door een enorme
diversiteit van structuren, zoals in de foto’s
1-6, waarin viervlakken aan elkaar grenzen,
elkaar doordringen en overlappen in ritmische
patronen, uitgevoerd
met grote precisie in harde materialen van
een forse omvang.
Naast foto’s van kunstwerken trof ik in het
fotoarchief ook tekeningen en vorm-
oefeningen. Die intrigeerden me zeer.
Foto 7 en foto 8 geven enig zicht op het
wiskundige gereedschap dat gebruikt is
voor objecten als in foto 1 en 2: aanzichten
en stereometrische tekeningen. Foto 9 laat
zien hoe je twee paren van gelijkzijdige
driehoeken als harmonica’s kunt vouwen, en
ze op elkaar laten passen. Daarmee werd bij
Verbeek een eindeloos spel geboren leidend
tot objecten als in foto’s 5 en 6. Foto 10 laat
zien hoe je van een rechthoek een viervlak
kunt vouwen. In foto 11 treffen we het als
fragiel kunstwerk van gaas aan.
Hiermee werd voor mij het spel van een
volgende paragraaf geboren.
Het regelmatig viervlak (tetraëder) bestaat
uit 4 gelijkzijdige driehoeken. Andere regelmatige
veelvlakken zijn: 8-vlak (octaëder)
en 20-vlak (icosaëder) met ook gelijkzijdige
driehoeken, 6-vlak (hexaëder of kubus) met
vierkanten en 12-vlak (dodecaëder) met
regelmatige vijfhoeken (zie figuur 1).
Samen worden ze de Platonische lichamen
genoemd, naar Plato, die ze in Timaeus
noemt als de basis voor de structuur van
het universum, waarbij ze respectievelijk vuur,
lucht, water, aarde en de kosmos vertegen-
woordigen. Ze vormen een basis voor
wiskundige bestudering van ruimtelijke
structuren (zie [1] voor een zeer toeganke-
lijk boekje), en spelen ook een grote rol in
bouwkunde en beeldende kunst. Zo koos
beeldend kunstenaar Gerard Caris het
regelmatig 12-vlak als uitgangspunt voor
zijn oeuvre.
In het standaardwerk Order in space, a
design source book [2] geeft Keith Critchlow
een systematische ordening van ruimtelijke
structuren. Het viervlak neemt daar
een bijzondere positie in ten opzichte van
de andere vier. Kubus en 8-vlak horen bij
elkaar, ze zijn ‘duaal’: als je de middens van
de zijvlakken van de ene figuur verbindt,
krijg je de andere. Ze vormen samen
via afsnijdingen en het doordringen van
elkaar de basis voor een grote groep van
halfregelmatige structuren. Dit geldt ook
voor 12-vlak en 20-vlak. Het viervlak is