85-5 - Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

Naar aanleiding van een toelatingsexamen
wiskunde tot de universiteiten in 1937; de
eigenlijke opgave, letterlijk:
Gegeven ABC; de zijde BC is groter dan
de zijde AC. De bissectrix van C snijdt
AB in D. Op CD bepaalt men het van
D verschillende punt E, zodat AE = AD.
Bewijs, dat AE evenwijdig is met de
raaklijn, in C aan de omgeschreven cirkel
van ABC getrokken.
U wordt eerst uitgedaagd een tekening te
construeren die aan de gegevens voldoet, en
het bewijs te leveren.
Dan pas onder de streep spieken! Wellicht
helpt het dit model te tekenen met een
dynamisch computerprogramma.
Hoe nu verder? Niet verder lezen, eerst zelf
proberen.
Verleng CD tot het punt G op de cirkel,
en trek AG en BG. Ga op zoek naar gelijke
hoeken.
Hoe nu verder? Niet verder lezen, eerst zelf
proberen.
Omdat CD bissectrice is van hoek C, zijn
de hoeken ACG en BCG gelijk; dus de
bogen AG en BG ook.
Omtrekshoeken op deze bogen zijn gelijk.
Dit zijn de vier met x gemarkeerde hoeken.
Op boog AC zijn de met y gemarkeerde
omtrekshoeken ACF en AGC gelijk.
Hoek ADE is buitenhoek van driehoek
AGD, dus:
ADE = DAG + DGA = x + y
Omdat driehoek ADE gelijkbenig is, is dus
ook AED = x + y.
Dus AED = FCD = x + y, waaruit
volgt dat de raaklijn evenwijdig is met AE
(F-hoeken).
Deze keer was het een relatief eenvoudige
opgave, en dan is het wellicht de moeite
waard te bekijken of er verder nog iets leuks
te ontdekken is in de tekening.
En jawel hoor, verleng AE tot deze BC
snijdt (in K). Nu blijkt BKEG een koordenvierhoek
te zijn.
Hoezo? Niet verder lezen, eerst zelf
proberen.
ABC = AGC = y (beide staan als
omtrekshoek op boog AC).
Dus:
(1)… GBK = x + y
(2)… GEK = 180° – GEA = 180° –
(x + y)
Uit (1) en (2) volgt:
GBK + GEK = 180°; dus is BKEG een
koordenvierhoek.
Er zijn nogal wat driehoeken waarin de
hoeken x, y en x + y een rol spelen. Dit
levert een aantal gelijkvormige driehoeken
op. Ook leuk om na te gaan:
- ABC
~ ACK ;
- ACD
~ BCG ~ BDG ~ CEK ;
- ACE
~ ACG ~ ADG ~ BCD ;
- BCE
~ CGK.
En wie er niet genoeg van kan krijgen...
Er zijn leuke koppels driehoeken met
gelijke oppervlakte:
ABE en BDK, ACD en BCE, ACE en CDK,
ADK en BEK.
Dr. Th.G.D. Stoelinga, Dr. M.G. van
Tol (1958): Wiskunde-Opgaven van de
toelatingsexamens tot de Universiteiten
van 1925 tot en met 1958. Zwolle: N.V.
Uitgeversmaatschappij W.E.J. Tjeenk
Willink (8e druk).
Ton Lecluse is docent wiskunde aan het
Comenius College te Hilversum.
E-mailadres: alecluse@casema.nl