81-1 - Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

Opgave 811
046
Puzzel 811
Betegelingen en partities
Stel we hebben 36 vierkante tegels in
verschillende kleuren: 8 paarse, 7 gele, 2
blauwe, 5 rode, 7 groene en 7 oranje. We
willen die in een vierkant van 6 bij 6 zó aan
elkaar leggen dat een ‘correcte’ betegeling
ontstaat; dat wil zeggen een betegeling
waarbij nergens twee tegels van dezelfde
kleur elkaar raken, zelfs niet met een
hoekpunt. In fi guur 1 ziet u dat het kan. De
kleuren zijn hier voorgesteld door hun eerste
letter, behalve de kleur geel, die is door Y
aangeduid. Merk op dat deze betegeling
correct blijft als de twee blauwe tegels rood
zouden zijn. De eerstgenoemde verdeling van
de kleuren is als het ware een verfi jning van
de tweede.
Deze vraagstelling is geïnspireerd
door kinderspeelgoed bestaande uit 36
schuimplastic tegels van zo’n 15 bij 15 cm die
voorzien zijn van de 26 letters van ons alfabet
en de tien cijfers. Als je de tegels ‘op volgorde’
legt in een vierkant van 6 bij 6, zie je hier en
daar een rijtje van drie tegels van eenzelfde
kleur. Natuurlijk wil je dan weten of dat ook
anders kan.
FIGUUR 1
We gaan nu dit puzzeltje generaliseren.
Gegeven zijn nm tegels in diverse kleuren.
Het aantal tegels van iedere kleur wordt
vastgesteld door een partitie P van het getal
nm. Gevraagd wordt een rechthoek van n bij
m met deze tegels van een correcte betegeling
te voorzien. U denkt nu misschien: ‘Kom maar
op met die partitie’, maar het is de bedoeling
dat u in de opgave zelf de partities bepaalt
waarvoor er correcte betegelingen bestaan
van de gegeven rechthoeken.
Recreatie
Opgave
Bepaal voor de volgende rechthoeken de
partities waarvoor een correcte betegeling
bestaat: 34, 35, 44, 36 en 45.
Als een partitie aan de eis voldoet, voldoen zijn
verfi jningen er natuurlijk ook aan. Die hoeft u
dan niet te vermelden, alleen de grofste partities
zijn interessant. Een bijbehorende betegeling
hoeft u alleen te vermelden als u vermoedt dat
ik hem niet ken. Voor het geval 33 zou dat er
bijvoorbeeld als volgt uit kunnen zien:
- 4221 aba/cdc/aba,
- 3321 aba/cdc/bab.
Zelfs in dit eenvoudige geval zijn er dus al twee
partities (afgezien van de verfi jningen) waar een
correcte betegeling bij behoort. Ter voorkoming
van een misverstand: de grofste partities die bij
een rechthoek behoren, hoeven niet evenveel
termen te bevatten. Zo behoren bij het vierkant
van 6 bij 6 onder andere de partities 666666 en
9999.
Oplossingen kunt u mailen naar a.gobel@wxs.nl
of per gewone post sturen naar F. Göbel,
Schubertlaan 28, 7522 JS Enschede. Er zijn
weer maximaal 20 punten te verdienen met uw
oplossing.
De deadline is 10 oktober 2005.
Prijzen
Ook dit jaar wordt twee keer een ladderprijs
uitgedeeld, in de vorm van een boekenbon
van € 30,00. Dat gebeurt op grond van de
ladderstanden na de puzzels van december en
juni. Verder is er een kerstprijs van € 30,00 voor
de beste inzending van de decemberpuzzel, en
tegen het eind van het seizoen worden er onder
de trouwe inzenders twee prijsjes van € 20,00
en € 15,00 verloot.
[ Frits Göbel ]