Vallende Katten

waar we gedefinieërd hebben:
en:
= 1 2 T 3 cos γ 2 dψ + 1 2 T 2 sin γ 2 dφ
+ 1 2 ˜T 3 cos γ 2 dφ + 1 2 ˜T 2 sin γ 2 dψ + ˜T 1 d γ 2 , (68)
˜T i := T f i − T b i ,
ψ := φ f + φ b ,
φ := φ f − φ b .
Het is belangrijk om op te merken dat kdk −1 componenten in G/H (de ruimte
met ˜T i ), als ook in H (de ruimte met T i ) bevat. Vervolgens berekenen we:
hdh −1 = 1 2 (sin µ sin νdξ + cos νdµ)T 1
+ 1 2 (sin µ cos νdξ − sin νdµ)T 2
+ 1 2 (cos µdξ + dν)T 3,
= e i T i , (69)
waarmee de eenvormen e i vastliggen, geheel analoog aan de berekening van
g −1 dg in §3.2. Verder zijn de volgende algebraïsche relaties interessant:
We kunnen nu ds 2 bepalen:
[T i , T j ] = ɛ ijk T k ,
[T i , ˜T j ] = ɛ ijk ˜Tk ,
[ ˜T i , ˜T j ] = −ɛ ijk T k .
1
2 T r(gdg−1 ) 2 = 1 {
2 T r h(kdk −1 )h −1} 2 1 +
2 T r(hdh−1 ) 2 + T r
{h(kdk −1 )h −1 hdh −1}
= 1 2 T r(kdk−1 ) 2 + 1 {
}
2 T r(hdh−1 ) 2 + T r (kdk −1 )(dh −1 h)
= 1 2 T r(kdk−1 G/H )2 + 1 2 T r(dh−1 h + kdk −1
H )2 , (70)
waar we gebruik gemaakt hebben van de eigenschap dat we een product van
matrices cyclisch mogen permuteren, zonder het spoor van het product te veranderen,
en de orthogonaliteit van T i en ˜T j . De subscripts G/H en H geven
aan dat we het resp. over de componenten ˜T i en T i van kdk −1 hebben (zie
vergelijking (68)).
We kunnen nu ds 2 uitschrijven (we gaan over op θ = π 2 − γ):
ds 2 = 2dθ 2 + 1 2 cos2 θdψ 2 + 1 2 sin2 dφ 2
+ 1 2 (e1 ) 2 + 1 2 (e2 + 1 2 cos θdφ)2 + 1 2 (e3 + 1 2 sin θdψ)2 . (71)
19