Vallende Katten

Er wordt hier geïntegreerd over het volume V van het lichaam, dat in punt r
dichtheid ρ(r) heeft. De componenten van het impulsmonent zijn:
L i = I ij ω j , (2)
en de Lagrangiaan van de vrije rotator (deze is in dit geval dus gelijk aan de
kinetische energie):
L = 1 2 I ijω i ω j = 1 2 ⃗ L · ⃗ω. (3)
Omdat [I ij ] een symmetrische tensor is, kunnen we onze basis zo kiezen dat deze
een diagonaaltensor wordt, met componenten I i op de diagonaal. Zo reduceren
de vergelijkingen tot:
L i = I i ω i , (4)
en de Lagrangiaan van de vrije rotator wordt:
L = 1 2 I i(ω i ) 2 . (5)
2.2 Eulerhoeken
In figuur 1 zijn rotaties over de zogenaamde Eulerhoeken (φ, θ, ψ) afgebeeld.
Dit is, naar later zal blijken, een handige keuze om alle mogelijke rotaties in de
3-dimensionale ruimte uit te kunnen voeren. Alle rotatiematrices op R 3 kunnen
Figuur 1: Eulerhoeken.
nu samengesteld worden uit de volgende drie matrices:
⎛
⎞ ⎛
cos φ sin φ 0
Λ(φ) = ⎝ − sin φ cos φ 0 ⎠ , Λ(θ) = ⎝ 1 0 0
0 cos θ sin θ
0 0 1
0 − sin θ cos θ
Λ(ψ) =
⎛
⎝
cos ψ sin ψ 0
− sin ψ cos ψ 0
0 0 1
Een willekeurige rotatiematrix kan geschreven worden als:
⎞
⎞
⎠ , (6)
⎠ . (7)
Λ(ψ, θ, φ) = Λ(ψ)Λ(θ)Λ(φ). (8)
5