Vallende Katten

A
Appendix: Lie algebra’s en generatoren
De generatoren van de rotatiematrices uit SO 3 voldoen aan de volgende commutatierelaties
en hierdoor genereren zij een Lie algebra:
[T i , T j ] = ɛ ijk T k . (86)
Zo is er bijvoorbeeld de set {T 1 , T 2 , T 3 } met:
⎛
T 1 = ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎛
0 0 −1 ⎠ , T 2 = ⎝ 0 0 −1 ⎞
0 0 0 ⎠ ,
0 1 0
1 0 0
⎛
T 3 = ⎝ 0 −1 0 ⎞
1 0 0 ⎠ .
0 0 0
Nu kunnen we een rotatie over een hoek θ om de x i -as in het algemeen schrijven
als 16 :
Λ i = e θTi . (87)
Bij wijze van generiek voorbeeld schrijven we dit uit voor i = 3. Deze e-macht
kunnen we dan als volgt expanderen:
e θT3 ≡ 1 + θT 3 + 1 2 θ2 T3 2 + 1 3! θ3 T3 3 + . . .
⎛
⎞
1 − 1 2
= ⎝
+ 1 4! θ4 − . . . −θ + 1 3! θ3 − 1 5! θ5 + . . . 0
θ − 1 3! θ3 + 1 5! θ5 − . . . 1 − 1 2 θ2 + 1 4! θ4 − . . . 0 ⎠
0 0 1
⎛
⎞
cos θ − sin θ 0
= ⎝ sin θ cos θ 0 ⎠ . (88)
0 0 1
We zien dat T 3 die matrix uit SO 3 genereert, die bij een rotatie van een hoek θ
om de x 3 -as hoort.
Als we elke matrix T i identificeren met i 2 τ i, definieërt dit een isomorfisme
tussen SO 3 en SU 2 , waarbij τ i de Pauli matrices voorstellen. We kunnen nu
rotaties ook schrijven als e i 2 θτi en op dezelfde wijze als T i genereren deze matrices
rotatiematrices. Uiteraard voldoen deze generatoren uit SU 2 ook aan de
commutatierelaties die bij een Lie algebra horen. Het is wèl belangrijk op te
merken dat een vector onder invloed van een matrix uit SO 3 transformeert als:
v ′ = Λv, met Λ ∈ SO 3 , terwijl een vector onder de invloed van een matrix uit
SU 2 als volgt transformeert: v ′ = ΩvΩ −1 = ΩvΩ † , met Ω ∈ SU 2 . We kunnen
een element Ω ∈ SU 2 als volgt representeren:
Ω = e i 2 αk τ k
= 1 + i| α 2 |αk τ k − 1 2 |α 2 |2 |⃗τ| 2 − i 3! |α 2 |3 (α k τ k ) 3 . . .
= 1 cos | α 2 | + i αk
|α| τ k sin | α 2 | (89)
16 Fysici geven er over het algemeen de voorkeur aan om rotaties te definiëren als h = e iθT .
Dit levert enigszins gewijzigde commutatierelaties, maar heeft geen wezenlijke gevolgen. Wij
houden hier ter bevordering van de continuïteit en simpliciteit de definitie zonder i aan.
27