Vallende Katten

waarin:
α := I 3
I ,
β := Ml2
I .
I en I 3 zijn resp. de I en I 3 uit §2.4.
We berekenen de Lagrangiaan door deze beperking in te voeren in de uitdrukking
voor ds 2 :
L = 1 2 (ds dt )2
= 1 {
I 1
2
˙θ2 + I2 −1 cos 2 θ ˙ψ 2 + I3 −1 sin 2 θ ˙φ 2
+ I −1
1 ( ˙µ)2 + I −1
3 ( ˙ν + 1 2 α cos θ ˙φ) 2 + I −1
2 ( ˙ξ + 1 2 α sin θ ˙ψ) 2} , (75)
waar we voor het vervolg bepalen:
Q 1 := ˙ξ,
Q 2 := ˙µ + 1 α sin θ ˙ψ,
2
Q 3 := ˙ν + 1 α cos θ ˙φ.
2
Deze, zoals zo zal blijken, behouden grootheden noemen we de ladingen. We
berekenen nu de gegeneraliseerde impulsen:
p θ = ∂L
∂ ˙θ = I 1 ˙θ,
p ψ = ∂L = I−1 2
∂ ˙ψ (cos2 θ ˙ψ + 1 2 αQ 3 sin θ),
p φ = ∂L = I−1 3
∂ ˙φ (sin2 θ ˙φ + 1 2 αQ 2 cos θ),
p µ = ∂L
∂ ˙µ = I−1 2 Q 3,
p ν = ∂L
∂ ˙ν = I−1 3 Q 2,
p ξ = ∂L = I−1 1
∂ ˙ξ Q 1.
Met de gegeneraliseerde impulsen kunnen we nu de Hamiltoniaan opschrijven:
H = ∑ p i ˙q i − L
i
= 1 {
I 1
2
˙θ2 + I2 −1 (cos2 θ ˙ψ 2 + 1 2 αQ 3 sin θ ˙ψ)
+ I3 −1 (sin2 θ ˙φ 2 + 1 2 αQ 2 cos θ ˙φ)
}
+ I2 −1 Q 3 ˙µ + I3 −1 Q 2 ˙ν + I1 −1 Q ˙ξ 1
21