Vallende Katten

More documents

Recommendations

Info

$Learning LATEX by Doing$

Figuur 12: De val van de kat. wordt voldaan, deze zijn de moeite waard om verder onderzoek naar te doen. 26
A Appendix: Lie algebra’s en generatoren De generatoren van de rotatiematrices uit SO 3 voldoen aan de volgende commutatierelaties en hierdoor genereren zij een Lie algebra: [T i , T j ] = ɛ ijk T k . (86) Zo is er bijvoorbeeld de set {T 1 , T 2 , T 3 } met: ⎛ T 1 = ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 −1 ⎠ , T 2 = ⎝ 0 0 −1 ⎞ 0 0 0 ⎠ , 0 1 0 1 0 0 ⎛ T 3 = ⎝ 0 −1 0 ⎞ 1 0 0 ⎠ . 0 0 0 Nu kunnen we een rotatie over een hoek θ om de x i -as in het algemeen schrijven als 16 : Λ i = e θTi . (87) Bij wijze van generiek voorbeeld schrijven we dit uit voor i = 3. Deze e-macht kunnen we dan als volgt expanderen: e θT3 ≡ 1 + θT 3 + 1 2 θ2 T3 2 + 1 3! θ3 T3 3 + . . . ⎛ ⎞ 1 − 1 2 = ⎝ + 1 4! θ4 − . . . −θ + 1 3! θ3 − 1 5! θ5 + . . . 0 θ − 1 3! θ3 + 1 5! θ5 − . . . 1 − 1 2 θ2 + 1 4! θ4 − . . . 0 ⎠ 0 0 1 ⎛ ⎞ cos θ − sin θ 0 = ⎝ sin θ cos θ 0 ⎠ . (88) 0 0 1 We zien dat T 3 die matrix uit SO 3 genereert, die bij een rotatie van een hoek θ om de x 3 -as hoort. Als we elke matrix T i identificeren met i 2 τ i, definieërt dit een isomorfisme tussen SO 3 en SU 2 , waarbij τ i de Pauli matrices voorstellen. We kunnen nu rotaties ook schrijven als e i 2 θτi en op dezelfde wijze als T i genereren deze matrices rotatiematrices. Uiteraard voldoen deze generatoren uit SU 2 ook aan de commutatierelaties die bij een Lie algebra horen. Het is wèl belangrijk op te merken dat een vector onder invloed van een matrix uit SO 3 transformeert als: v ′ = Λv, met Λ ∈ SO 3 , terwijl een vector onder de invloed van een matrix uit SU 2 als volgt transformeert: v ′ = ΩvΩ −1 = ΩvΩ † , met Ω ∈ SU 2 . We kunnen een element Ω ∈ SU 2 als volgt representeren: Ω = e i 2 αk τ k = 1 + i| α 2 |αk τ k − 1 2 |α 2 |2 |⃗τ| 2 − i 3! |α 2 |3 (α k τ k ) 3 . . . = 1 cos | α 2 | + i αk |α| τ k sin | α 2 | (89) 16 Fysici geven er over het algemeen de voorkeur aan om rotaties te definiëren als h = e iθT . Dit levert enigszins gewijzigde commutatierelaties, maar heeft geen wezenlijke gevolgen. Wij houden hier ter bevordering van de continuïteit en simpliciteit de definitie zonder i aan. 27
Page 1 and 2: De ijktheorie van een vallende kat
Page 3 and 4: Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 De tr
Page 5 and 6: Er wordt hier geïntegreerd over he
Page 7 and 8: over op cylindercoördinaten, met j
Page 9 and 10: Als we i 2 τ i identificeren met T
Page 11 and 12: waarbij g ij de metriek genoemd wor
Page 13 and 14: zodat inderdaad: |z 0 | 2 + |z 1 |
Page 15 and 16: Hier wordt aan voldaan als ˙ψ = 0
Page 17 and 18: • Rotaties die het lichaam van de
Page 19 and 20: waar we gedefinieërd hebben: en: =
Page 21 and 22: waarin: α := I 3 I , β := Ml2 I .
Page 23 and 24: We kunnen uitdrukking (79) nu omsch
Page 25: Figuur 10: Een andere oplossing. Fi

Vallende Katten

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?