Vallende Katten

over op cylindercoördinaten, met jacobiaan r:
⎛ ⎞ ⎛
⎝ x1
x 2 ⎠ −→ ⎝ r cos φ
r sin φ
x 3
z
⎞
⎠ .
Nu volgt, met M = πρR 2 h de massa van de cylinder:
Dus:
I 11 = 1 4 M(R2 + 1 3 h2 ), (14)
I 22 = 1 4 M(R2 + 1 3 h2 ), (15)
I 33 = 1 M,
2
(16)
I ij = 0 als i ≠ j. (17)
⎛
⎞
I = 1 4 M ⎝ (R2 + 1 3 h2 ) 0 0
0 (R 2 + 1 3 h2 ) 0 ⎠ .
0 0 2R 2
We transleren over een afstand l in de x 3 -richting, de componenten van de
traagheidstensor worden dan I ij + M(l 2 δ ij − l i l j ), met l 1 = 0, l 2 = 0, l 3 = l:
met:
I −→ 1 4 M ⎛
⎝
⎞
(R 2 + 1 3 h2 ) + 4l 2 0 0
0 (R 2 + 1 3 h2 ) + 4l 2 0 ⎠ ,
0 0 2R 2
=
⎛
⎝ I 0 0
⎞
0 I 0 ⎠ .
0 0 I 3
I := 1 4 M(R2 + 1 3 h2 + 4l 2 ), I 3 := 1 2 MR2 .
Vervolgens roteren we één cylinder om de x 1 -as, over een hoek γ 2
m.b.v. de
othogonale (3 × 3)-matrix Λ(θ):
Λ(θ) =
θ θ
⎛
⎝ 1 0 0 sin 0
cos
⎞
⎠ , zodat: I −→ Λ(θ)IΛ T (θ).
0 − cos θ sin θ
Dit schrijven we uit:
⎛
I 0 0
⎞
I(θ) = ⎝ 0 I sin 2 θ + I 3 cos 2 θ −I cos θ sin θ + I 3 cos θ sin θ ⎠ ,
0 −I cos θ sin θ + I 3 cos θ sin θ I cos 2 θ + I 3 sin 2 θ
De andere cylinder roteren we over een hoek − γ 2 , zodat:
⎛
I(−θ) = ⎝
I 0 0
0 I sin 2 θ + I 3 cos 2 θ I cos θ sin θ − I 3 cos θ sin θ
0 I cos θ sin θ − I 3 cos θ sin θ I cos 2 θ + I 3 sin 2 θ
⎞
⎠ .
7