Linear Algebra - Sebastian Pancratz

det(P −1 AP ) = det P −1 det A det P
= (det A)(det P )(det P ) −1
= det A
α : V → V det α = det[α]B
B V
det : End(V ) → F
det ι = 1
det α ◦ β = det α det β
det α = 0 α α det α −1 =
(det α) −1
GL(V ) V GLn(F)
n × n F GL(V ) GLn(F) det : GLn(F) → F
A ∈ Mm(F) B ∈ Mk(F) C ∈ Mm,k(F) det
A C
0 B =
det A det B
B, C dB,C : A ↦→ det
A C
0 B
Fm dB,C(A) = det A det
I C
0 B C
B ↦→ det
I C
0 B Fk det I C
0 B = det B I C
0 I
det
I C
0 I = 1 I C
0 I det A C
0 B = det A det B
X =
A C
0 B
A C
det =
0 B
m+n
ε(σ) xσ(j)j σ∈§m+n j=1
x σ(j)j = 0 j ≤ m σ(j) > m σ
j ∈ [1, m] σ(j) ∈ [1, m] x σ(j)j = a σ1(j)j σ1 ∈ Sm
σ [1, m]
j ∈ [m + 1, m + k] σ(j) ∈ [m + 1, m + k] l = j − m
x σ(j)j = b σ2(l)l σ2(l) = σ(m + l) − m
ε(σ) = ε(σ1)ε(σ2) σ
det ⎛
A C
0 B = ⎝
⎞ ⎛
m
ε(σ1) a ⎠ ⎝
σ1(j)j
⎞
k
ε(σ2) a ⎠
σ2(j)j
σ1∈Sm
= det A det B
j=1
σ2∈Sk
A = (aij) n × n A ij (n − 1) × (n − 1)
A i j
l=1